Question

【題目】已知在四邊形中，，.

(1)如圖1．連接，若，求證：.

(2)如圖2，點分別在線段上，滿足，求證：;

(3)若點在的延長線上，點在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得出為直角三角形，再根據(jù)證出，從而證出；

（2）如圖2，延長DC到 K，使得CK=AP，連接BK，通過證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根據(jù)證明得，從而得出，然后得出結(jié)論；
（3）如圖3，在CD延長線上找一點K，使得KC=AP，連接BK，構(gòu)建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對應(yīng)角相等：∠PBQ=∠KBQ，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．

（1）證明：如圖1，

∵，

∴

在和中，

∴

∴

（2）如圖2，

延長至點，使得，連接

∵

∴

∵

∴

∵，，

∴

∴，，

∵，，

∴

∵，，

∴

∴

∴

（3）

如圖3，在延長線上找一點，使得，連接，

∵

∴

∵

∴

在和中，

∴

∴，

∴

∵

∴

在和中，

∴

∴

∴

∴

∴.