【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,分別是,軸上的點,且,,為線段的中點,,為軸正半軸上的任意一點,連結(jié),以為邊按順時針方向作正方形.
(1)填空:點的坐標(biāo)為______;
(2)記正方形的面積為,①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;②當(dāng)時,求的值.
(3)是否存在滿足條件的的值,使正方形的頂點或落在的邊上?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1).(2)①.②.(3),21,3,.
【解析】
(1)根據(jù)點C的坐標(biāo)和正弦的定義即可求出AC,利用勾股定理即可求出OA,從而求出結(jié)論;
(2)①過點作軸于點,易證DH為的中位線,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得,,,然后根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理即可求出結(jié)論;
②易知此時點即為正方形的中心,從而得出,從而求出a的值,結(jié)合①的結(jié)論即可求出S;
(3)根據(jù)點F和點G落在的各邊分類討論,分別畫出對應(yīng)的圖形,根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)即可分別求出結(jié)論.
解:(1)∵,
∴OC=8,
解得:AC=10
根據(jù)勾股定理可得OA=
∵點A在x軸負(fù)半軸上
∴
故答案為:.
(2)①如圖,過點作軸于點,
∵為線段的中點,DH⊥y軸,AO⊥y軸
∴DH∥AO
∴DH為的中位線
∴,
∴,
∴.
②當(dāng)時,點即為正方形的中心,
∴,
∴,
∴.
(3)①當(dāng)點落在邊上時,如圖,過點D作DM⊥y軸于M,過點F作FN⊥y軸于N
∴∠EMD=∠FNE=90°
∵四邊形DGFE為正方形
∴ED=FE,∠DEF=90°
∴∠DEM+∠FEN=90°,∠EFN+∠FEN=90°
∴∠DEM=∠EFN
∴≌
∴,
∵,,
∴,
∵FN平行OB
∴∽,
∴,
∴,
∴.
②當(dāng)點落在邊上時,如圖,過點D作DM⊥y軸于M,過點G作GQ⊥x軸于Q,QG的延長線于DM的延長線交于點N
∴∠EMD=∠DNG=90°
∵四邊形DGFE為正方形
∴ED=DG,∠EDG=90°
∴∠DEM+∠EDN=90°,∠GDN+∠EDN =90°
∴∠DEM=∠GDN
∴≌
∴,,
∴,
∴tanB=
∴
∴,
∴,
又∵,
∴.
③當(dāng)點落在邊上時,如圖,過點D作DM⊥y軸于點M
∴∠EMD=∠FOE=90°
∵四邊形DGFE為正方形
∴ED=FE,∠DEF=90°
∴∠DEM+∠FEO=90°,∠EFO+∠FEO=90°
∴∠DEM=∠EFO
∴≌
∴,即.
④當(dāng)點落在邊上時,如圖,
∵∠CDE=∠COA=90°,∠DCE=∠OCA
∴∽
∴,
∴,
得.
綜上,所有滿足條件的的值有四個:,21,3,.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點,與軸交點,拋物線過兩點,與軸交于另一點.
(1)求拋物線的解析式及點的坐標(biāo);
(2)在直線上方的拋物線上是否存在點,使與的交點恰好為的中點?如果存在,求出點的坐標(biāo),如果不存在,說明理由.
(3)若點在拋物線上且橫坐標(biāo)為,點是拋物線對稱軸上一點,在拋物線上存在一點,使以為頂點的四邊形是平行四邊形?直接寫出點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點四邊形ABCD(頂點為網(wǎng)格線的交點).
(1)畫出四邊形ABCD關(guān)于x軸成軸對稱的四邊形A1B1C1D1;
(2)以O為位似中心,在第三象限畫出四邊形ABCD的位似四邊形A2B2C2D2,且位似比為1;
(3)在第一象限內(nèi)找出格點P,使∠DCP=∠CDP,并寫出點P的坐標(biāo)(寫出一個即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的內(nèi)接三角形,是的直徑,平分,交于點,交于點,連接.
求證:;
①當(dāng)四邊形為平行四邊形時,的長為 ;
②若,則的長為 (結(jié)果保留)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個有進(jìn)水管與出水管的容器,從某時刻開始的內(nèi)只進(jìn)水不出水,在隨后的內(nèi)既進(jìn)水又出水,每分鐘進(jìn)水量和出水量是兩個常數(shù).容器內(nèi)的水量(單位:)與時間(單位:)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)當(dāng)時,求出關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)每分鐘的進(jìn)水量與出水量各是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場為方便消費(fèi)者購物,準(zhǔn)備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯,如圖所示,已知原階梯式自動扶梯長為,坡角為”改造后的斜坡式自動扶梯的坡角為,若國標(biāo)規(guī)定自動扶梯的速度一般是,請你計算乘坐改造后的斜坡式自動扶梯比乘坐階梯式自動扶梯多用的時間.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):,,.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,點D在邊BC上,∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,⊙O是△ABD的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BD是⊙O的直徑時(如圖2),求∠CAD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一組正方形按如圖所示放置,其中頂點 B1 在 y 軸上,頂點 C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3… 在 x 軸上.已知正方形 A1B1C1D1 的邊長為 1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,則正方形 A2020B2020C2020D2020 的邊長是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先閱讀材料,再解答問題:
已知點和直線,則點到直線的距離可用公式計算.例如:求點到直線的距離.
解:由直線可知:.
所以點到直線的距離為.
求:(1)已知直線與平行,求這兩條平行線之間的距離;
(2)已知直線分別交軸于兩點,是以為圓心,為半徑的圓,為上的動點,試求面積的最大值.
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