Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)B（3，﹣3）．

（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)

（2）若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△OPB的面積的最大值及比時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q，求出直線BP的解析式，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OA的解析式，可得C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，

解得m=2，

∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，1）；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q.

∵直線OB的解析式為y=﹣x，

故設(shè)P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），

∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，

∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，

當(dāng)n=時(shí)，S△OPB的最大值為．

此時(shí)y=﹣n2+2n=，

∴P（，）；

（3）∵直線OA的解析式為y=x，

∴可設(shè)新的拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+a，

聯(lián)立，

∴﹣（x﹣a）2+a=x，

∴x1=a，x2=a﹣1，

即C、D兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的差為1，

∴CD=．