Question

【題目】已知：直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段AO上.將沿BC折疊后，點(diǎn)O恰好落在AB邊上點(diǎn)D處．

（1）求出OC的長？

（2）點(diǎn)E、F是直線BC上的兩點(diǎn)，若是以EF為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）取AB的中點(diǎn)M，若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在直線AB上，是否存在以C、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OC的長為3；（2）或；（3）或或．

【解析】

（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，從而可得OA、OB、AB的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理即可得；

（2）如圖，先由（1）得出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出直線BC的函數(shù)解析式，從而可得出直線AG的函數(shù)解析式，然后聯(lián)立直線BC、AG的函數(shù)解析式可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而可得AG的長，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由此建立方程求解即可得；

（3）先求出點(diǎn)M坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出直線CM的函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，然后分MQ為所構(gòu)成的平行四邊形的邊和MQ為所構(gòu)成的平行四邊形的對角線兩種情況，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式列出等式求解即可．

（1）對于

當(dāng)時，，解得，則點(diǎn)A坐標(biāo)為

當(dāng)時，，則點(diǎn)B坐標(biāo)為

由折疊的性質(zhì)得：

，

設(shè)，則

在中，，即

解得

故OC的長為3；

（2）由（1）可得：點(diǎn)C坐標(biāo)為

設(shè)直線BC的解析式為

將點(diǎn)，代入得：，解得

則直線BC的解析式為

如圖，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，交直線BC于點(diǎn)G

則可設(shè)直線AG的解析式為

將點(diǎn)代入得：，解得

則直線AG的解析式為

聯(lián)立，解得

即點(diǎn)G坐標(biāo)為

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：

點(diǎn)E、F是直線BC上的兩點(diǎn)，且是以EF為斜邊的等腰直角三角形

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為

則有

整理得：

解得或

當(dāng)時，

當(dāng)時，

則點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；

（3）由題意得：點(diǎn)M坐標(biāo)為，即

設(shè)直線CM的函數(shù)解析式為

將點(diǎn)、代入得：，解得

則直線CM的函數(shù)解析式為

因為點(diǎn)Q在直線AB：上

所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

由平行四邊形的定義，分以下兩種情況：

①MQ為所構(gòu)成的平行四邊形的邊，則

設(shè)直線CP的函數(shù)解析式為

將點(diǎn)代入得：，解得

則直線CP的函數(shù)解析式為

當(dāng)時，，則此時點(diǎn)P坐標(biāo)為

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：

則

解得或

當(dāng)時，

當(dāng)時，

因此，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或

②MQ為所構(gòu)成的平行四邊形的對角線，則

設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為

將點(diǎn)代入得：，解得

則直線PQ的函數(shù)解析式為

當(dāng)時，，則此時點(diǎn)P坐標(biāo)為

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：

解得或

當(dāng)時，

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則MQ不是所構(gòu)成的平行四邊形的對角線，不符題設(shè)，舍去

當(dāng)時，

因此，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

綜上，所求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．