【題目】在平面直角坐標系xOy中,有“拋物線系”y=-(x-m)2+4m-3,頂點為點P,這些拋物線的形狀與拋物線 y=-x2 相同,但頂點位置不同.
(1)填寫下表,并說出:在m取不同數(shù)值時,點P位置的變化具有什么特征?
m的值 | … | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
點P坐標 | … | … |
(2)若拋物線的對稱軸是直線x=1,則可確定m的值.點M(p,q)為此拋物線上的一個動點,且﹣1<p<2,而直線y=kx-4(k≠0)始終經(jīng)過點M.
①求此拋物線與x軸的交點坐標;
②求k的取值范圍.
(3)若點Q在x軸上,點S(0,-1)在y軸上,點R在坐標平面內(nèi),且以點P,Q,R,S為頂點的四邊形是正方形,試直接寫出所有點Q的坐標.
【答案】(1)點P的位置始終在同一條直線上;(2)k<-1或k>2;(3)點Q的坐標有:(3,0),(-2,0),(,0),(-6,0),(,0),(-,0).
【解析】
(1)由拋物線系y=-(x-m)2+4m-3,可得頂點P的坐標為(m,4m-3),把m=-1、0、1、2一次代入4m-3,即可求出相應(yīng)的縱坐標,結(jié)果填表內(nèi),通過描點發(fā)現(xiàn)點P的位置始終在同一條直線上;(2)①根據(jù)對稱軸是直線x=1,而拋物線頂點式y=-(x-m)2+4m-3中對稱軸是直線x=m,所以m=1,從而求得拋物線的解析式;把y=0代入解析式即可求出與x軸交點坐標;②因為﹣1<p<2,所以把x=-1、2分別代入拋物線的解析式,解得y=-3、0,可得點M在拋物線上點(-1,-3 ),(2,0)之間運動,不包含此兩點,再把此兩點的坐標分別代入直線y=kx-4(k≠0)可得兩個k的值,從而求得k的取值范圍; (3)根據(jù)正方形的性質(zhì)進行分類討論可得結(jié)果.
解:(1)
m的值 | … | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
點P坐標 | … | (-1,-7) | (0,-3) | (1,1) | (2,5) | … |
可通過描點得出:點P的位置始終在同一條直線上;
(2)①∵拋物線的對稱軸為x=1,∴m=1,
∴拋物線的表達式為:y=﹣x2+2x;
當(dāng)y=0時,﹣x2+2x=0,∴x1=0,x2=2,
∴拋物線與x軸的交點坐標是:(0,0),(2,0);
② 當(dāng)﹣1<p<2時,結(jié)合圖象,可知點M在運動中的邊界點為:(-1,-3 ),(2,0);
當(dāng)過(-1,﹣3)時,代入 y=kx﹣4,k=-1;
當(dāng)過(2,0)時,代入 y=kx﹣4,k=2;
綜上所述:k<-1或k>2;
(3)點Q的坐標有:(3,0),(-2,0),(,0),(-6,0),(,0),(-,0).
理由:
∵S(0,-1),P(m,4m-3)
∴①當(dāng)SP為正方形的邊長時,以SP為邊向兩邊作正方形,如圖,易證圖中陰影三角形全等,解得P1(5m-2,3m-3),由中點公式得P2(2-3m,5m-3),由全等求得P4(4m-2,-m-1),P3(2-4m,-1+m).
當(dāng)P1、P2、P3、P4中有一點落在x軸上時即可滿足條件,
當(dāng)P1落在x軸上時,3m-3=0,m=1, 此時Q(3,0)
當(dāng)P2落在x軸上時,5m-3=0,m= ,此時Q(,0)
當(dāng)P3落在x軸上時,-1+ m=0,m=1,此時Q(-2,0)
當(dāng)P4落在x軸上時,-m-1=0,m=-1,此時Q(-6,0)
②當(dāng)SP為對角線時,另外兩點的坐標即為圖中兩正方形的中心坐標,分別為(m-1, m-2),(1-m,m-2).
當(dāng)m-2=0時,m=,此時Q(,0)
當(dāng)m-2時,m=,此時Q(-,0)
綜上所述,Q點坐標為:(3,0),(-2,0),(,0),(-6,0),(,0),(-,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為6,E,F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°,將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.
(1)求證:EF=MF;
(2)若AE=2,求FC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司從2009年開始投入技術(shù)改造資金,經(jīng)技術(shù)改進后,其產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不斷降低,具體數(shù)據(jù)如表:
年度 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 |
投入技改資金x(萬元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
產(chǎn)品成本y(萬元/件) | 7.2 | 6 | 4.5 | 4 |
(1)試判斷:從上表中的數(shù)據(jù)看出,y與x符合你學(xué)過的哪個函數(shù)模型?請說明理由,并寫出它的解析式.
(2)按照上述函數(shù)模型,若2013年已投入技改資金5萬元
①預(yù)計生產(chǎn)成本每件比2012年降低多少元?
②如果打算在2013年把每件產(chǎn)品的成本降低到3.2萬元,則還需投入技改資金多少萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于一個三角形,設(shè)其三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°,若x、y、z滿足x2+y2=z2,我們定義這個三角形為美好三角形.
(1)△ABC中,若∠A=40°,∠B=80°,則△ABC (填“是”或“不是”)美好三角形;
(2)如圖,銳角△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠C=60°,AC=2,⊙O的直徑是2,求證:△ABC是美好三角形;
(3)已知△ABC是美好三角形,∠A=30°,求∠C的度數(shù).
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【題目】如圖,∠AOB=45°,點M,N在邊OB上,OM=x,ON=x+4,點P是邊OA上的點,且△PMN是等腰三角形.在x>2的條件下,(1)當(dāng)x=______時,符合條件的點P只有一個;(2)當(dāng)x=______時,符合條件的點P恰好有三個.(兩個小題都只寫出一個數(shù)即可)
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【題目】中國經(jīng)濟的快速發(fā)展讓眾多國家感受到了威脅,隨著釣魚島事件、南海危機、薩德入韓等系列事件的發(fā)生,國家安全一再受到威脅,所謂“國家興亡,匹夫有責(zé)”,某校積極開展國防知識教育,九年級甲、乙兩班分別選5名同學(xué)參加“國防知識”比賽,其預(yù)賽成績?nèi)鐖D所示:
(1)根據(jù)如圖填寫如表:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 | |
甲班 | 8.5 | 8.5 | ||
乙班 | 8.5 | 10 | 1.6 |
(2)根據(jù)如表數(shù)據(jù),分析哪個班的成績較好,請詳細說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在不透明的袋子中有四張標有數(shù)字1,2,3,4的卡片,小明、小華兩人按照各自的規(guī)則玩抽卡片游戲。
小明畫出樹形圖如下:
小華列出表格如下:
第一次 第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) |
2 | (1,2) | (2,2) | ① | (4,2) |
3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) |
4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) |
回答下列問題:
(1)根據(jù)小明畫出的樹形圖分析,他的游戲規(guī)則是:隨機抽出一張卡片后 (填“放回”或“不放回”),再隨機抽出一張卡片;
(2)根據(jù)小華的游戲規(guī)則,表格中①表示的有序數(shù)對為 ;
(3)規(guī)定兩次抽到的數(shù)字之和為奇數(shù)的獲勝,你認為淮獲勝的可能性大?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,交AC于D,AE⊥BD于E,AD:DC=3:5,則DE:BE的值是_____.
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