Question

6．如圖，在直角坐標系中，點P的坐標是（n，0）（n＞0），拋物線y=-x²+bx+c經過原點O和點P，已知正方形ABCD的三個頂點為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）若當n=4時求c，b并寫出拋物線對稱軸及y的最大值；
（2）求證：拋物線的頂點在函數(shù)y=x²的圖象上；
（3）若拋物線與直線AD交于點N，求n為何值時，△NPO的面積為1；
（4）若拋物線經過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），請直接寫出n的取值范圍．
（參考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）．

Answer 1

分析 （1）把原點和P點坐標代入拋物線解析式可求得b、c，則可求得拋物線解析式，化為頂點式可求得其對稱軸和最大值；
（2）用n可表示出拋物線的解析式，則可求得其頂點坐標，代入y=x²進行驗證即可；
（3）可用n表示出N點坐標，則可表示出N到x軸的距離和OP的長，可表示出△NPO的面積，可得到關于n的方程，可求得n的值；
（4）分別把A、B、C、D的坐標代入拋物線解析式可求得n的值，則可求得n的取值范圍．

解答 解：
（1）當n=4時，則P（4，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c經過原點O和點P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-16+4b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴拋物線對稱軸為直線x=2，
∵-1＜0，
∴當x=2時，y有最大值4；
（2）把O、P的坐標代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-{n}^{2}+bn=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=n}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+nx=-（x-$\frac{n}{2}$）²+$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∴拋物線頂點坐標為（$\frac{n}{2}$，$\frac{{n}^{2}}{4}$），
在y=x²中，當x=$\frac{n}{2}$時，y=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∴拋物線的頂點在函數(shù)y=x²的圖象上；
（3）在y=-x²+nx中，當x=2時，y=2n-4，
∴N點坐標為（2，2n-4），
∴N到x軸的距離為|2n-4|=2|n-2|，
∵P（n，0），
∴OP=n，
∴S_△NPO=$\frac{1}{2}$n×2|n-2|=n|n-2|，
當△NPO的面積為1時，則有n|n-2|=1，
當n=2時，N、P重合，不成立，
當n＞2時，則n²-2n=1，解得n=1+$\sqrt{2}$或n=1-$\sqrt{2}$（此時n小于2，舍去），
當0＜n＜2時，則2n-n²=1，解得n₁=n₂=1，
綜上可知當n的值為1+$\sqrt{2}$或1時，△NPO的面積為1；
（4）∵拋物線解析式為y=-x²+nx，
∴當過A（2，2）時，代入可得2=-4+2n，解得n=3，
同理當拋物線過B時可求得n=$\frac{11}{3}$，當拋物線過點C時可求得n=4，當拋物線過點D時可求得n=$\frac{7}{2}$，
∴n的取值范圍為3≤n≤4．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質、三角形的面積、函數(shù)圖象上點的坐標特征及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應用步驟，在（2）中用n表示出頂點坐標是解題的關鍵，在（3）中用N點坐標表示出△NPO的面積是解題的關鍵，在（4）中分別求得過每個點時的n的值是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．