Question

【題目】如圖，已知拋物線 (a為常數(shù)，且a＞0)與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為直線BD下方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PD、PB, 求△PBD面積的最大值．

（3）設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)F坐標(biāo)為(－2， )時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少．

【解析】試題分析: (1）首先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線y=a（x+2）（x-4）（a為常數(shù)，且a＞0），求得拋物線解析式；

(2) 設(shè)P(m, ),根據(jù)三角形的面積公式即可得解；
（3）由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+DF．作輔助線，將AF+DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．

試題解析：(1)拋物線令y＝0，解得x＝－2或x＝4，

∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4，0)，

∴，解得，

∴直線BD解析式為： ．

當(dāng)x＝－5時(shí)，y＝3，

∴D(－5，3)．

∵點(diǎn)D(－5， )在拋物線上，

∴，

∴．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為： ．

(2)設(shè)P(m, )

∴

．

∴△BPD面積的最大值為．．

(3)作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點(diǎn)F，

∵由(2)得，DN＝,BN＝9，容易得∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，

∴FG＝DF×sin30°＝，

∴當(dāng)且僅當(dāng)AH⊥DK時(shí)，AF+FH最小，

點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：t＝，

∵lBD： ，∴Fx＝Ax＝－2，F(－2， )

∴當(dāng)F坐標(biāo)為(－2， )時(shí)，用時(shí)最少．