Question

【題目】已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．

（1）試直接寫出點D的坐標；
（2）已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上，點P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP．
①若以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；
②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|TO﹣TB|的值最大？

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得：D（﹣ ，2）；

（2）

解：①∵OC=3，BC=2，

∴B（3，2）；

∵拋物線經(jīng)過原點，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx （a≠0）

又拋物線經(jīng)過點B（3，2）與點D（﹣ ，2）；

∴

解得：

∴拋物線的解析式為y= ；

∵點P在拋物線上，

∴設(shè)點P（x， ）；

1）、若△PQO∽△DAO，則 ， ，

解得：x1=0（舍去）或x2= ，

∴點P（ ）；

2）、若△OQP∽△DAO，則 ， ，

解得：x1=0（舍去）或x2= ，

∴點P（ ，6）；

②存在點T，使得|TO﹣TB|的值最大．

拋物線y= 的對稱軸為直線x= ，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為E，則點E（ ，0）；

∵點O、點E關(guān)于直線x= 對稱，

∴TO=TE

要使得|TO﹣TB|的值最大，

即是使得|TE﹣TB|的值最大，

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當T、E、B三點在同一直線上時，|TE﹣TB|的值最大；

設(shè)過B、E兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），

∴

解得：

∴直線BE的解析式為y= x﹣2；

當x= 時，y=

∴存在一點T（ ，﹣1）使得|TO﹣TB|最大．

【解析】（1）由于M是AB的中點，即可得到AM= ，由此可求出M點的坐標，將M點坐標向左平移3個單位即可得到點D的坐標；（2）①根據(jù)B、D的坐標即可確定拋物線的解析式，設(shè)出P點的橫坐標，根據(jù)拋物線的解析式可得到P點縱坐標的表達式；由于∠PQO=∠DAO=90°，若以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，則有兩種情況：1）、△PQO∽△DOA，2）、△OQP∽△DAO；根據(jù)上述兩種情況所得的不同比例線段，即可求出P點的坐標；②由于D、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，若|TO﹣TB|的值最大，那么T點必為直線DO與拋物線對稱軸的交點，根據(jù)拋物線的解析式可求出其對稱軸方程，根據(jù)D點的坐標可求得直線DO的解析式，聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，即可求得T點的坐標．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�