Question

【題目】已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．

（1）試直接寫出點D的坐標；
（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP．
①若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；
②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|TO﹣TB|的值最大？

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得：D（﹣ ，2）；

（2）

解：①∵OC=3，BC=2，

∴B（3，2）；

∵拋物線經過原點，

∴設拋物線的解析式為y=ax2+bx （a≠0）

又拋物線經過點B（3，2）與點D（﹣ ，2）；

∴

解得：

∴拋物線的解析式為y= ；

∵點P在拋物線上，

∴設點P（x， ）；

1）、若△PQO∽△DAO，則 ， ，

解得：x1=0（舍去）或x2= ，

∴點P（ ）；

2）、若△OQP∽△DAO，則 ， ，

解得：x1=0（舍去）或x2= ，

∴點P（ ，6）；

②存在點T，使得|TO﹣TB|的值最大．

拋物線y= 的對稱軸為直線x= ，設拋物線與x軸的另一個交點為E，則點E（ ，0）；

∵點O、點E關于直線x= 對稱，

∴TO=TE

要使得|TO﹣TB|的值最大，

即是使得|TE﹣TB|的值最大，

根據三角形兩邊之差小于第三邊可知，當T、E、B三點在同一直線上時，|TE﹣TB|的值最大；

設過B、E兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），

∴

解得：

∴直線BE的解析式為y= x﹣2；

當x= 時，y=

∴存在一點T（ ，﹣1）使得|TO﹣TB|最大．

【解析】（1）由于M是AB的中點，即可得到AM= ，由此可求出M點的坐標，將M點坐標向左平移3個單位即可得到點D的坐標；（2）①根據B、D的坐標即可確定拋物線的解析式，設出P點的橫坐標，根據拋物線的解析式可得到P點縱坐標的表達式；由于∠PQO=∠DAO=90°，若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，則有兩種情況：1）、△PQO∽△DOA，2）、△OQP∽△DAO；根據上述兩種情況所得的不同比例線段，即可求出P點的坐標；②由于D、B關于拋物線的對稱軸對稱，若|TO﹣TB|的值最大，那么T點必為直線DO與拋物線對稱軸的交點，根據拋物線的解析式可求出其對稱軸方程，根據D點的坐標可求得直線DO的解析式，聯立兩個函數的解析式，即可求得T點的坐標．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�