Question

【題目】已知，△ABC 是等腰直角三角形，BC=AB，A 點(diǎn)在 x 負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn) B 在 y 軸上，點(diǎn) C 在 x 軸上方．

（1）如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn) B的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn) C 的坐標(biāo)；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn) C 作 CD⊥y 軸于 D，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OA，OD，CD之間等量關(guān)系；

（3）如圖3，若 x 軸恰好平分∠BAC，BC與 x 軸交于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) C作 CF⊥x 軸于 F，問(wèn) CF 與 AE 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣1，4）；（2）OA=CD+OD；（3）CF= AE．

【解析】

（1）作CH⊥y軸與D,得OA=3,OB=1,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得∠CBH=∠BAO，證明△ABO≌△BCH，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo),

（2）證明△ABO≌△BCH，得OB=CD,OA=BD,∴OA=CD+OD,

（3）如圖 3，CF 和 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) D，證明△ABE≌△CBD， 得AE=CD，再利用對(duì)稱性質(zhì)得CF=DF，即可解題.

解：（1）作 CH⊥y 軸于 D，如圖 1，

∵點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（0，1），

∴OA=3，OB=1，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBH=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBH=∠BAO，

在△ABO和△BC中

∴△ABO≌△BCH，

∴OB=CH=1，OA=BH=3，

∴OH=OB+BH=1+3=4，

∴C（﹣1，4）；

（2）OA=CD+OD．理由如下：如圖2，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO，

在△ABO 和△BCD 中

∴△ABO≌△BCD，

∴OB=CD，OA=BD，

而 BD=OB+OD=CD+OD，

∴OA=CD+OD；

（3）CF= AE．理由如下：

如圖 3，CF 和 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) D，

∴∠CBD=90°，

∵CF⊥x，

∴∠BCD+∠D=90°，∠DAF+∠D=90°，

∴∠BCD=∠DAF，

在△ABE 和△CBD中

∴△ABE≌△CBD，

∴AE=CD，

∵x 軸平分∠BAC，CF⊥x 軸，

∴CF=DF，

∴CF= CD= AE．