Question

已知，如圖，⊙D交y軸于A、B，交x軸于C，過C的直線：y=-2x-8與y軸交于P．
（1）求證：PC是⊙D的切線；
（2）判斷在直線PC上是否存在點E，使得S_△EOC=4S_△CDO，若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證PC是⊙D的切線，可以先連接DC然后證明垂直即可，由CP所在直線的解析式，我們可得出C，P兩點的坐標(biāo)，就能得出DP，CP的長，只需要求出CD的長．根據(jù)勾股定理判定三角形DCP是否為直角三角形即可，那么關(guān)鍵是求出DC的長，有了D的坐標(biāo)，也求出了C的坐標(biāo)，那么CD的長就能求出來了．
（2）由于三角形OCD和OCE公用了一條OC邊，那么比較它們的面積只需比較E，D兩點的縱坐標(biāo)的絕對值即可．根據(jù)S_△EOC=4S_△CDO，那么E點的縱坐標(biāo)必為4或-4；根據(jù)CP的函數(shù)式，可以求出E點的橫坐標(biāo)，這樣就能求出E點的坐標(biāo)了．
解答：（1）解：∵PC的直線方程為：y=-2x-8，
∴C（-2，0），P（0，-8）．
∴OC=2，OP=8，
PC=，
CD=，
PD=OP+OD=8+1=9，
PD²=9²=81，CD²+PC²=9+72=81．
∴PD²=CD²+PC²．
∴△DCP為直角三角形，∠DCP=90°，DC⊥PC，CD為半徑．
∴PC為⊙D的切線．

（2）解：設(shè)E（r，y），
∴S_△OCE=4S_△CDO．
∴×OC×|y|=4×OC×OD，
|y|=4OD=4．
∴y=±4，E₁（-3，4），E₂（-，-4）．
點評：本題考查了一次函數(shù)和幾何問題的綜合應(yīng)用，本題中根據(jù)點的坐標(biāo)求出點與點的距離是解題的基礎(chǔ)．