Question

【題目】如圖1所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形OPAQ是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求使△APC的面積為整數(shù)的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OPAQ可能是正方形嗎？若可能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不可能，請(qǐng)說明理由；

（4）在點(diǎn)Q隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在直線AC上時(shí)，則稱點(diǎn)Q為“和諧點(diǎn)”，如圖（2）所示，請(qǐng)直接寫出當(dāng)Q為“和諧點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9個(gè) ；（3）或；（4）

【解析】

（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，即可求解；

（2）的面積，即可求解；

（3）當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)只能在軸的下方，此時(shí)為等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)，則，即可求解；

（4）求出直線的表達(dá)式為：，則直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②求出的坐標(biāo)，又四邊形是平行四邊形，則的中點(diǎn)即為的中點(diǎn)，即可求解．

解：（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，解得，

故拋物線的拋物線為：；

（2）對(duì)于，令，則或6，故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、；

如圖，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

設(shè)直線的表達(dá)式為：

由點(diǎn)（6，0）、（0，4）的坐標(biāo)得，解得，

∴直線的表達(dá)式為：①，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

的面積，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故使的面積為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9個(gè)；

（3）當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)只能在軸的下方，

此時(shí)為等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)，則，

即，解得：或4，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，或；

（4）設(shè)點(diǎn)，為點(diǎn)，

設(shè)直線的表達(dá)式為：，

由點(diǎn)，的坐標(biāo)可得，解之得：

∴直線的表達(dá)式為：，

，則和表達(dá)式中的值相同，

故直線的表達(dá)式為：②，

聯(lián)立①②得：，解得：，

則點(diǎn)，，

四邊形是平行四邊形，則的中點(diǎn)即為的中點(diǎn)，

如圖2，作軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，

∴,

則有，，解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程得跟，

則，

故的橫坐標(biāo)的值為．