Question

【題目】定義：如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上（點(diǎn)與兩點(diǎn)不重合），如果的三邊滿足，則稱點(diǎn)為拋物線的勾股點(diǎn)。

()直接寫出拋物線的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)；

()如圖，已知拋物線：與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的勾股點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

()在()的條件下，點(diǎn)在拋物線上，求滿足條件的點(diǎn)（異于點(diǎn)）的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）Q有3個(gè): 或或.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線勾股點(diǎn)的定義即可得；

（2）作PG⊥x軸，由點(diǎn)P坐標(biāo)求得AG=1、PG=、PA=2，得到,

從而求得AB=4，即B（4，0），待定系數(shù)法求解可得；

（3）由S△ABQ=S△ABP且兩三角形同底，可知點(diǎn)Q到x軸的距離為，據(jù)此求解可得．

解:

(1)拋物線的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(2)拋物線過原點(diǎn),即點(diǎn),如圖,作軸于點(diǎn)G,

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為,

∴

∴,

∴在中, ,

∴,，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）

∴不妨設(shè)拋物線解析式為,

將點(diǎn)代入得: ,即拋物線解析式為.

(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí),由知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為,

則有,

計(jì)算得出: (與P點(diǎn)重合，不符合題意,舍去),

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為;

②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí),由知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為,

則有,

計(jì)算得出: ,

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；

綜上,滿足條件的點(diǎn)Q有3個(gè): 或或.