Question

【題目】問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，則△ABC的外接圓半徑R的值為 ．

問題探究

(2)如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB＝24，M是AB的中點(diǎn)，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求PM的最大值．

問題解決

(3)如圖③所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所對(duì)的圓心角為60°．新區(qū)管委會(huì)想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB、AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F．也就是，分別在、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP．為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE＋EF＋FP的最小值(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì))．

圖① 圖② 圖③

Answer 1

【答案】（1）5；（2）18；（3）（3－9）km．

【解析】（1）如圖（1），設(shè)外接圓的圓心為O，連接OA， OB，根據(jù)已知條件可得△AOB是等邊三角形，由此即可得半徑；

（2）如圖（2）所示，連接MO并延長(zhǎng)交⊙O于N，連接OP，顯然，MN即為MP的最大值，根據(jù)垂徑定理求得OM的長(zhǎng)即可求得MN的最大值；

（3） 如圖（3）所示，假設(shè)P點(diǎn)即為所求點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)P、P＂連接PP、PE，PE，P＂F，PF，PP＂，則PP＂即為最短距離，其長(zhǎng)度取決于PA的長(zhǎng)度， 根據(jù)題意正確畫出圖形，得到點(diǎn)P的位置，根據(jù)等邊三角形、勾股定理等進(jìn)行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值.

（1）如圖（1），設(shè)外接圓的圓心為O，連接OA， OB，

∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，

∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是等邊三角形，

∴OB=AB=5，

故答案為：5；

（2）如圖（2）所示，連接MO并延長(zhǎng)交⊙O于N，連接OP，

顯然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝＝5，MN＝18，

∴PM的最大值為18；

（3） 如圖（3）所示，假設(shè)P點(diǎn)即為所求點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)P、P＂連接PP、PE，PE，P＂F，PF，PP＂

由對(duì)稱性可知PE＋EF＋FP＝PE＋EF＋FP＂＝PP＂，且P、E、F、P＂在一條直線上，所以PP＂即為最短距離，其長(zhǎng)度取決于PA的長(zhǎng)度，

如圖（4），作出弧BC的圓心O，連接AO，與弧BC交于P，P點(diǎn)即為使得PA最短的點(diǎn)，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，

∴ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3，

BC所對(duì)的圓心角為60°，∴OBC是等邊三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3，

∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3－3，

∠PAE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，

∴∠PAP＂＝2∠ABC＝120°，PA＝AP＂，

∴∠APE＝∠AP＂F＝30°，

∵PP＂＝2PAcos∠APE＝PA＝3－9，

所以PE＋EF＋FP的最小值為3－9km．