Question

【題目】已知拋物線y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3），（m為常數(shù)，﹣1≤m≤4），A（﹣m﹣1，y1），是該拋物線上不同的兩點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線的對(duì)稱軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線a，過(guò)拋物線頂點(diǎn)P作PH⊥a于H．

（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求出這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若無(wú)論m取何值，拋物線與直線y＝x﹣km（k為常數(shù)）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；

（3）當(dāng)1＜PH≤6時(shí)，試比較y1，y2之間的大小．

Answer 1

【答案】（1）（﹣，﹣）；（2）k=3;（3）﹣1≤m＜﹣或＜m≤時(shí)，有y2＞y1，﹣＜m＜﹣時(shí)，有y2＜y1

【解析】

(1)化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo);（2）列方程組根據(jù)△=0解決問(wèn)題;（3）首先證明y1=y3，再根據(jù)點(diǎn)B的位置，分類討論，①令 ＜-m-1，求出m的范圍即可判斷，②令=-m-1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．③令＞-m-1，求出m的范圍即可判斷，④令 ≤＜-m，求出m的范圍即可判斷，⑤令=-m，B，C重合，不合題意舍棄．⑥令＞-m，求出m的范圍即可判斷．

解：（1）∵m＝1，

∴y＝x2+3x﹣2＝（x+）2﹣，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣，﹣）．

（2）由 消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）＝0，

∵拋物線與直線y＝x﹣km有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴△＝0，即（k﹣3）m＝0，

∵無(wú)論m取何值，方程總是成立，

∴k﹣3＝0，

∴k＝3．

（3）∵，

拋物線y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3）的頂點(diǎn)為，

PH＝|﹣ ﹣（﹣ ）|＝| |，

∵1＜PH≤6，

∴當(dāng)＞0時(shí)，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，

∴ ＜m≤ ，

當(dāng)＜0時(shí)，1＜﹣≤6，又∵﹣1≤m≤4，

∴﹣1≤m＜﹣，

∴﹣1≤m＜﹣或＜m≤，

∵A（﹣m﹣1，y1）在拋物線上，

∴y1＝（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）＝﹣4m，

∵C（﹣m，y3）在拋物線上，

∴y3＝（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）＝﹣4m，

∴y1＝y3，

①令＜﹣m﹣1，則有m＜﹣ ，結(jié)合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣1≤m＜﹣，

此時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，如圖1，

∴y2＞y1＝y3，

即當(dāng)﹣1≤m＜﹣時(shí)，有y2＞y1＝y3．

②令＝﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令＞﹣m﹣1，且時(shí)，有﹣＜m≤﹣ ，結(jié)合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣＜m≤﹣，

此時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，如圖2，

∴y1＝y3＞y2，

即當(dāng)﹣＜m≤﹣時(shí)，有y1＝y3＞y2，

④令，有﹣≤m＜0，結(jié)合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣≤m＜﹣，

此時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，如圖3，

∴y2＜y3＝y1．

⑤令，B，C重合，不合題意舍棄．

⑥令，有m＞0，結(jié)合＜m≤，

∴＜m≤，

此時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，如圖4，

∴y2＞y3＝y1，

即當(dāng)＜m≤時(shí)，有y2＞y3＝y1，

綜上所述，﹣1≤m＜﹣或＜m≤時(shí)，有y2＞y1＝y3，﹣＜m＜﹣時(shí)，有y2＜y1＝y3．