Question

已知：函數(shù)（a為常數(shù)）．

（1）若該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的值；

（2）若該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交于點(diǎn)A（，0），B（，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且．

①求拋物線的解析式；

②作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連結(jié)BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer 1

（1）或或；（2）①；②．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)a取值的不同，有三種情形，需要分類討論，避免漏解．

（2）①函數(shù)與x軸相交于點(diǎn)A（，0），B（，0）兩點(diǎn)，則，，滿足時(shí)，方程的根與系數(shù)關(guān)系．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/CZSX/web/STSource/2015062906034658981165/SYS201506290603524025889077_DA/SYS201506290603524025889077_DA.009.png">，則可平方，用，表示，則得關(guān)于a的方程，可求，并得拋物線解析式；

②已知解析式則可得A，B，C，D坐標(biāo)，求sin∠DCB，須作垂線構(gòu)造直角三角形，結(jié)論易得．

試題解析：（1）函數(shù)（a為常數(shù)），

若，則，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，1），（1，0）；

若且圖象過原點(diǎn)時(shí)，，，有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（1，0）；

若且圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，令有：△=，解得，有兩個(gè)交點(diǎn)（0，﹣1），（1，0），

綜上得：或或時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）①∵函數(shù)與x軸相交于點(diǎn)A（，0），B（，0）兩點(diǎn)，∴，為的兩個(gè)根，∴，，∵，∴=，解得（函數(shù)開口向上，，舍去），或，∴；

②∵函數(shù)與x軸相交于點(diǎn)A（，0），B（，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且，∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），∵D為A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴D（﹣1，0）．根據(jù)題意畫圖，如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥CB于E，∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠CBO=45°，∴△EDB為等腰直角三角形，設(shè)DE=x，則EB=x，∵DB=4，∴，∴，即DE=．在Rt△COD中，∵DO=1，CO=3，∴CD=，∴sin∠DCB==．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．等腰直角三角形．