【題目】如圖,矩形 ABCD 中,對角線 AC 的垂直平分線交 AD 、BC 于點 E 、F , AC 與EF 交于點O ,連結(jié) AF 、CE 。
(1)求證:四邊形 AFCE 是菱形;
(2)若 AB 4, AD 8 ,求菱形 AFCE 的邊長。
【答案】(1)見解析;(2)3.
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC,∠EAO=∠FCO,證明△AEO≌△CFO,得出AE=CF,證出四邊形AFCE是平行四邊形,再由對角線AC⊥EF,即可得出結(jié)論; (2)設(shè)AF=CF=x,則BF=8-x,在Rt△ABF中,根據(jù)勾股定理得出方程,解方程即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵EF是AC的垂直平分線,
∴AO=CO,∠EOA=∠FOC=90°,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴AE=CF,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
又∵AC⊥EF,
∴四邊形AFCE是菱形;
(2)解:∵四邊形AFCE是菱形,
∴AF=CF, 設(shè)AF=CF=x,則BF=8-x,
在Rt△ABF中,AF2=AB2+BF2,
即x2=42+(8-x)2, 解得 x= 3,
∴菱形AFCE的邊長為3.
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【題目】如圖,△ABC與△AED中,∠E=∠C,DE=BC,EA=CA,過A作AF⊥DE垂足為F,DE交CB的延長線于點G,連接AG,若S四邊形DGBA=6,AF=,則FG的長是_____.
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【題目】如圖所示,A、B兩個旅游點從2010年至2014年“五、一”的旅游人數(shù)變化情況分別用實線和虛線表示.根據(jù)圖中所示解答以下問題:
(1)B旅游點的旅游人數(shù)相對上一年,增長最快的是哪一年?
(2)求A、B兩個旅游點從2010到2014年旅游人數(shù)的平均數(shù)和方差,并從平均數(shù)和方差的角度,用一句話對這兩個旅游點的情況進行評價.
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【題目】一天課間,頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩,不小心掉到兩根柱子之間,如圖所示,這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了,于是有了下面這道題.
(1)求證:△ADC≌△CEB;
(2)如果每塊磚的厚度a=10cm,請你幫小明求出三角板ABC的面積.
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【題目】如圖,在邊長為 2 的正方形 ABCD 中,點 P 、Q 分別是邊 AB 、 BC 上的兩個動點(與點 A 、B 、C 不重合)且始終保持 BP BQ, AQ QE ,QE 交正方形外角平分線CE 于點 E , AE 交CD 于點 F ,連結(jié) PQ 。
(1)求證: APQ ≌ QCE ;
(2)求QAE 的度數(shù);
(3)設(shè) BQ x ,當(dāng) x 為何值時, QF CE ,并求出此時AQF 的面積。
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【題目】閱讀下列材料:
我們知道|x|的幾何意義是:在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點與原點O的距離,這個結(jié)論可以推廣為:|x1﹣x2|表示在數(shù)軸上數(shù)x1,x2對應(yīng)點之間的距離.
例:解方程|x﹣1|+|x+2|=5.
由絕對值的幾何意義知,該方程表示:求在數(shù)軸上與1和﹣2的距離之和為5的點對應(yīng)的數(shù),而在數(shù)軸上,1和﹣2的距離為|1﹣(﹣2)|=3,滿足方程的x對應(yīng)點在1的右邊或﹣2的左邊,若x對應(yīng)點在1的右邊,
由圖可知看出x=2;同理,若x對應(yīng)點在﹣2的左邊,可得x=﹣3,故原方程的解是x=2或x=﹣3.
參考閱讀材料,解答下列問題:
(1)方程|x﹣2|+|x+3|=7的解為 .
(2)代數(shù)式|x﹣1|+|x+4|的最小值為 .
(3)如圖,點A、B、C是數(shù)軸上的三點,A點表示數(shù)是-3,B點表示數(shù)是-1,C點表示數(shù)是6,點A,B,C開始在數(shù)軸上運動,若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點B和點C分別以每秒2個單位長度和3個單位長度的速度向右運動,假設(shè)t秒鐘過后,若點A與點B之間的距離表示為AB,點A與點C之間的距離表示為AC,點B與點C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= .(用含t的代數(shù)式表示)
(4)在(3)的條件下,若mAC﹣4AB的值不隨著時間t的變化而改變,試確定m的值.
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【題目】問題情境
(1)如圖1,已知AB∥CD,∠PBA=125°,∠PCD=155°,求∠BPC的度數(shù).
佩佩同學(xué)的思路:過點P作PG∥AB,進而PG∥CD,由平行線的性質(zhì)來求∠BPC,求得∠BPC=
問題遷移
(2)圖2.圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形,三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合,∠ACB=90°,DF∥CG,AB與FD相交于點E,有一動點P在邊BC上運動,連接PE,PA,記∠PED=∠α,∠PAC=∠β.
①如圖2,當(dāng)點P在C,D兩點之間運動時,請直接寫出∠APE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系;
②如圖3,當(dāng)點P在B,D兩點之間運動時,∠APE與∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系?請判斷并說明理由;
拓展延伸
(3)當(dāng)點P在C,D兩點之間運動時,若∠PED,∠PAC的角平分線EN,AN相交于點N,請直接寫出∠ANE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系.
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