【題目】如圖,已知拋物線過點,過定點 的直線:與拋物線交于、兩點,點在點的右側,過點軸的垂線,垂足為.

1)求拋物線的解析式;

2)設點x軸上運動,連接,作的垂直平分線與過點Dx軸的垂線交于點,判斷點是否在拋物線上,并證明你的判斷;

3)若,設的中點為,拋物線上是否存在點,使得周長最小,若存在求出周長的最小值,若不存在說明理由;

4)若,在拋物線上是否存在點,使得的面積為,若存在求出點的坐標,若不存在說明理由.

【答案】(1);(2)在,理由詳見解析;(3)存在,;4)存在,

【解析】

1)拋物線過點,利用待定系數(shù)法即可求解;

2)設I的坐標為 ,過IIH⊥y軸于點H,由點I在線段DF的垂直平分線上,求得ID=IF=y,在Rt中,利用勾股定理計算,求得得點I的坐標為,從而說明點在拋物線上;

3)先求得的中點M的坐標為,作PN軸于點N,利用(2)的結論:拋物線上的點到點F的距離等于它到軸的距離,當三點共線時,周長最小,即可求得答案;

4)作QR軸于點D,交AB于點R,先求得直線的解析式和點的坐標,利用三角形面積公式求得,再求得,設點的坐標為:,則點的坐標為:,則,解方程即可求得點的坐標.

1)∵拋物線過點,

,

解得:,

∴拋物線的解析式為:

2)在,理由如下:

I的坐標為 ,過IIH⊥y軸于點H,如圖:

,,

∵點I在線段DF的垂直平分線上,

ID=IF=y,

Rt中,

,

化簡得:,

∴點I在拋物線上;

3)存在,理由如下:

,設的中點為,

消去y得:,

∴點M的橫坐標為:

縱坐標為:,

∴點M的坐標為:,

(2)可知:拋物線上的點到點F的距離等于它到軸的距離,

設拋物線上存在點P,使得周長最小,

過點PPN軸于點N,如圖:

由于是定值,,

∴當三點共線,即軸于點N時,周長最小,

此時點的坐標為:,

,

周長最小值為:

4)存在,理由如下:

過點QQR軸于點D,交AB于點R,如圖,

代入得:,

∴直線的解析式為:,

解得:,

∴點的坐標為:,

的面積為,

,

設點的坐標為:,則點的坐標為:

,

時,

解得:,此時點的坐標為:

時,即,

解得:,此時點的坐標為:,

綜上:滿足條件的點為:

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0

2

3

4

-3

5

3

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