Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=與拋物線y=交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-4，點(diǎn)P為直線AB上方的拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)Q，PH⊥AB于H．

（1）求b的值及sin∠PQH的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P到直線AB的距離PH的長，并求出PH之長的最大值以及此時t的值；

（3）連接PB，若線段PQ把△PBH分成成△PQB與△PQH的面積相等，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）b=-1，；（2），當(dāng)t=-1時，PH有最大值為；（3）P（-3，0）．

【解析】

（1）令y=0，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式，求出點(diǎn)B的值，然后根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出OA和OC的長度，根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)PQ∥OC，可得∠PQH=∠OCA，然后求出sin∠PQH的值；

（2）求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，運(yùn)用三角函數(shù)，求出PH的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用求最大值的方法求解即可．

（3）作BD⊥PQ交PQ的延長線于點(diǎn)D，由S△PQB=S△PQH，得出BQ=QH，利用三角函數(shù)求出QH和BQ的關(guān)系式，運(yùn)用相等的關(guān)系求出t，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）令y=0得：，化簡x2+x-6=0，解得x1=-3，x2=2，

∴A（2，0），

∵A（2，0）在直線上，

∴1+b=0，解得b=-1，

∴OC=1，OA=2，

，

∵PQ∥OC，

∴∠PQH=∠OCA，

，

（2），

，

，

，

∴當(dāng)t=-1時，PH有最大值為，

（3）如圖，作BD⊥PQ交PQ的延長線于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，

∵S△PQB=S△PQH，

∴BQ=QH，

在RT△PHQ中，

，

，

，

在RT△BDQ中，

∵∠BQD=∠PQH，

，

，

，

，

，

∴t2+7t+12=0，

∴t1=-3，t2=-4（舍去），

∴P（-3，0）．