【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,y2),且x1x2,y1y2,以MN為邊構(gòu)造菱形,若該菱形的兩條對(duì)角線分別平行于x軸,y軸,則稱該菱形為邊的“坐標(biāo)菱形”.

1)已知點(diǎn)A10),B0),則以AB為邊的“坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角為______

2)若點(diǎn)C2,1),點(diǎn)D在直線y=5上,以CD為邊的坐標(biāo)菱形”為正方形,求育直線CD表達(dá)式;

3O的半徑為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,m),若在O上存在一點(diǎn)Q,使得以QP為邊的“坐標(biāo)菱形”為正方形,求m的取值范圍.

【答案】(1)60°;(2)y=x-1y=-x+3;(3)m的取值范圍是1≤m≤5-5≤m≤-1.

【解析】

(1)根據(jù)定義建立以AB為邊的“坐標(biāo)菱形”,由勾股定理求邊長(zhǎng)AB=4,可得30度角,從而得最小內(nèi)角為60°;
(2)先確定直線CD與直線y=5的夾角是45°,得D(6,5)或(-2,5),易得直線CD的表達(dá)式為:y=x-1y=-x+3;
(3)分兩種情況:①先作直線y=x,再作圓的兩條切線,且平行于直線y=x,如圖3,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求P'B=BD=1,PB=5,寫(xiě)出對(duì)應(yīng)P的坐標(biāo);
②先作直線y=-x,再作圓的兩條切線,且平行于直線y=-x,如圖4,同理可得結(jié)論.

解:(1)如圖1中,

點(diǎn)A(1,0),B(0,),

OA=1,OB=

RtAOB中,由勾股定理得:AB==2,

sinABO==,

∴∠ABO=30°,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠ABC=2ABO=60°,

ABCD,

∴∠DCB=180°-60°=120°,

∴以AB為邊的坐標(biāo)菱形的最小內(nèi)角為60°,

故答案為:60°;

(2)如圖2中,

∵以CD為邊的坐標(biāo)菱形為正方形,

∴直線CD與直線y=5的夾角是45°.

過(guò)點(diǎn)CCEDEE.

D(6,5)或(-2,5).

∴直線CD的表達(dá)式為:y=x-1y=-x+3;

(3)分兩種情況:

①先作直線y=x,再作圓的兩條切線,且平行于直線y=x,如圖3,

∵⊙O的半徑為,且△OQ'D是等腰直角三角形,

OD=OQ'=2,

P'D=3-2=1,

∵△P'DB是等腰直角三角形,

P'B=BD=1,

P'(0,1),

同理可得:OA=2,

AB=3+2=5,

∵△ABP是等腰直角三角形,

PB=5,

P(0,5),

∴當(dāng)1≤m≤5時(shí),以QP為邊的坐標(biāo)菱形為正方形;

②先作直線y=-x,再作圓的兩條切線,且平行于直線y=-x,如圖4,

∵⊙O的半徑為,且△OQ'D是等腰直角三角形,

OD=OQ'=2,

BD=3-2=1,

∵△P'DB是等腰直角三角形,

P'B=BD=1,

P'(0,-1),

同理可得:OA=2,

AB=3+2=5,

∵△ABP是等腰直角三角形,

PB=5,

P(0,-5),

∴當(dāng)-5≤m≤-1時(shí),以QP為邊的坐標(biāo)菱形為正方形;

綜上所述,m的取值范圍是1≤m≤5-5≤m≤-1.

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