Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊三角形AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)C，點(diǎn)C隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接CP、CA．過點(diǎn)P作PD⊥OB于D點(diǎn)

（1）直接寫出BD的長(zhǎng)并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）
（2）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△AOB是等邊三角形，

∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．

∵PD⊥OB，

∴∠PDO=90°，

∴∠OPD=30°，

∴OD= OP．

∵OP=t，

∴OD= t，

∴BD=4﹣ t．

在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD= t，

如圖（1），過C作CE⊥OA于E，

則∠PEC=90°，

∵線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)C，

∴∠BPC=60°．

∵∠OPD=30°，

∴∠BPD+∠CPE=90°．

∴∠DBP=∠CPE

∴△PCE∽△BPD，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴CE= ，PE=2﹣ ，

∴OE=OP+PE=2+ ，

∴C（2+ ， ）

（2）解：如圖（3），當(dāng)∠PCA=90度時(shí)，作CF⊥PA，

∴△PCF∽△ACF，

∴ = ，

∴CF2=PFAF，

∵PF=2﹣ t，AF=4﹣OF=2﹣ t，CF= t，

∴（ t）2=（2﹣ t）（2﹣ t），

解得t=2，

此時(shí)P是OA的中點(diǎn)．

如圖（2），

當(dāng)∠CAP=90°時(shí)，C的橫坐標(biāo)就是4，

∴2+ t=4，

解得t=

（3）解：設(shè)C（x，y），

∴x=2+ t，y= t，

∴y= x﹣ ，

∴C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)痕跡是一條線段（0≤t≤4）．

當(dāng)t=0時(shí)，C1（2，0），

當(dāng)t=4時(shí)，C2（5， ），

∴由兩點(diǎn)間的距離公式得：C1C2=2 ．

故點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為：2

【解析】（1）利用30度角的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)，即△PCE∽△BPD，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出C坐標(biāo)；（2）可先假設(shè)△PCA能成為直角三角形，分類討論，當(dāng)∠PCA=90度時(shí)或∠CAP=90°，可利用相似性質(zhì)列出對(duì)應(yīng)邊成比例式子，進(jìn)行求解;（3）可設(shè)出設(shè)C（x，y），構(gòu)建參數(shù)方程x=2+ t，y= t，消去參數(shù)即可得到y(tǒng)= x﹣ .