【題目】如圖,直線軸、軸分別交于、兩點,拋物線經(jīng)過、兩點,與軸的另一個交點為,連接

(1)求拋物線的解析式及點的坐標;

(2) 在拋物線上,連接 ,當 時,求點的坐標;

(3)從點出發(fā),沿線段運動,同時點從點出發(fā),沿線段運動, 、的運動速度都是每秒個單位長度,當點到達點時,、同時停止運動,試問在坐標平面內是否存在點,使運動過程中的某一時刻,以、、為頂點的四邊形為菱形?若存在,直接寫出點的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

(1)首先求出點A、B的坐標,然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,進而求出點C的坐標;
(2)滿足條件的點M有兩種情形,需要分類討論:
①當BMBC時,如答圖2-1所示;
②當BMBC關于y軸對稱時,如答圖2-2所示.
(3)CPQ的三邊均可能成為菱形的對角線,以此為基礎進行分類討論:
①若以CQ為菱形對角線,如答圖3-1.此時BQ=t,菱形邊長=t;
②若以PQ為菱形對角線,如答圖3-2.此時BQ=t,菱形邊長=t;
③若以CP為菱形對角線,如答圖3-3.此時BQ=t,菱形邊長=5-t.

解:直線解析式

,得;

,得

∵點、在拋物線上,

,

解得,

∴拋物線解析式為:

,

解得:

,

,

①當時,如答圖所示.

,

,故點滿足條件.

過點軸于點,則,

,

∴直線的解析式為:

聯(lián)立,

得:

解得:,

,,

;

②當關于軸對稱時,如答圖所示.

,,

,

故點滿足條件.

過點軸于點,

,,

,

∴直線的解析式為:

聯(lián)立得:

解得:,

,

綜上所述,滿足條件的點的坐標為:

,則,

假設存在滿足條件的點,設菱形的對角線交于點,設運動時間為

①若以為菱形對角線,如答圖.此時,菱形邊長

中,,

解得

過點軸于點,

,,

∵點與點橫坐標相差個單位,

;

②若以為菱形對角線,如答圖.此時,菱形邊長

,

,點中點,

∵點與點橫坐標相差個單位,

;

③若以為菱形對角線,如答圖.此時,菱形邊長

中,,

解得

,

綜上所述,存在滿足條件的點,點坐標為:

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1)求直線BC的解析式;

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