Question

【題目】如圖1，已知拋物線L1：y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，在L1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸，垂足為D，將L1沿直線l翻折得到拋物線L2，交x軸于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．

（1）當(dāng)L1與L2重合時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求此時(shí)L2的解析式；并直接寫(xiě)出L1與L2中，y均隨x的增大而減小時(shí)的x的取值范圍；

（3）連接PM，PB，設(shè)點(diǎn)P（m，n），當(dāng)n= m時(shí)，求△PMB的面積．

Answer 1

【答案】（1）P（1，4）；（2）x≥5 ；（3）△PMB的面積為或3

【解析】

（1）由配方法可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由對(duì)稱(chēng)性求出拋物線L2的頂點(diǎn)，進(jìn)而得到解析式，由圖象可得；

（3）利用點(diǎn)P在拋物線上和n=m構(gòu)造方程求出m、n，分類(lèi)討論求△PMB的面積．

（1）由拋物線對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)點(diǎn)P為拋物線L1的頂點(diǎn)時(shí)，拋物線L1與L2重合

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4

∴點(diǎn)P（1，4）

（2）在拋物線L1中，令y=0，即-x2+2x+3=0

解得x1=-1，x2=3

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)P（3，0）

∴拋物線L2與拋物線L1關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)

∴拋物線L2的頂點(diǎn)為（5，4）

∵由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知，拋物線L1和L2開(kāi)口方向和大小相同．

∴拋物線L2和的解析式為y=-（x-5）2+4=-x2+10x-21

∴結(jié)合圖象可知，當(dāng)x≥5時(shí)，拋物線L1與拋物線L2中，y均隨x的增大而減小

（3）當(dāng)n=m時(shí)，-m2+2m+3=m

解得m1=-，m2=2

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，-）或（2，3）

①如圖1，

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，-）時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為坐標(biāo)為（-，0）

∴DB=3-（-）=

∴MB=2BD=2×=9

∴S△PMB=MBPD＝×9×＝

②如圖2，

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為坐標(biāo)為（2，0）

∴DB=3-2=1

∴MB=2BD=2

∴S△PMB=MBPD＝×2×3＝3

綜上所述當(dāng)點(diǎn)n=m時(shí)，△PMB的面積為或3.