Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）；

（2）連接BD，求證：BD平分∠CBA．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）分別以A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，過(guò)兩弧的交點(diǎn)作直線，交AC于點(diǎn)D，AB于點(diǎn)E，直線DE就是所要作的AB邊上的中垂線；

（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，從而得到BD平分∠CBA．

試題解析：（1）解：如圖所示，DE就是要求作的AB邊上的中垂線；

（2）證明：∵DE是AB邊上的中垂線，∠A=30°，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=30°，

∵∠C=90°，

∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，

∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠CBA．