【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于點D,DE⊥AB交AB的延長線于點E,DF⊥AC于點F,現(xiàn)有下列結論:①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM平分∠ADF;④AB+AC=2AE.其中,正確的有( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【答案】C

【解析】試題分析:①由角平分線的性質可知正確;由題意可知∠EAD=∠FAD=30°,故此可知ED=DF=,從而可證明正確;DM平分∠ADF,則∠EDM=90°,從而得到∠ABC為直角三角形,條件不足,不能確定,故錯誤;連接BDDC,然后證明△EBD≌△DFC,從而得到BE=FC,從而可證明

解:如圖所示:連接BDDC

①∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴ED=DF

∴①正確.

②∵∠EAC=60°,AD平分∠BAC,

∴∠EAD=∠FAD=30°

∵DE⊥AB

∴∠AED=90°

∵∠AED=90°,∠EAD=30°,

∴ED=AD

同理:DF=

∴DE+DF=AD

∴②正確.

由題意可知:∠EDA=∠ADF=60°

假設MD平分∠ADF,則∠ADM=30°.則∠EDM=90°,

∵∠E=∠BMD=90°

∴∠EBM=90°

∴∠ABC=90°

∵∠ABC是否等于90°不知道,

不能判定MD平分∠ADF

錯誤.

④∵DMBC的垂直平分線,

∴DB=DC

Rt△BEDRt△CFD,

∴Rt△BED≌Rt△CFD

∴BE=FC

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+FC

∵AE=AFBE=FC,

∴AB+AC=2AE

正確.

故選:C

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