Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形△AOB，點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)(OC＞1)，連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形△CBD，連接DA并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)E.

(1)求證：△OBC≌△ABD

(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出∠CAD的度數(shù);如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD的度數(shù)不會(huì)變化，理由見(jiàn)解析；(3) 當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到(3,0)時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

【解析】

（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，則∠OBC=∠ABD，然后可根據(jù)“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出；

（3）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，求得∠EAC=120°，進(jìn)而得出以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，最后根據(jù)Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，據(jù)此得到OC=1+2=3，即可得出點(diǎn)C的位置．

(1)證明：∵△AOB、△CBD都是等邊三角形

∴ BO=BA,BC=BD, ∠OBA=∠CBD=600

∴ ∠OBA+∠ABC = ∠CBD+∠ABC

∴ ∠OBC = ∠ABD

∴ △OBC≌△ABD

(2)解：在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD的度數(shù)不會(huì)變化，理由如下：

∵ △AOB是等邊三角形

∴ ∠BOA =∠OAB= 60°

∵ △OBC≌△ABD

∴ ∠BAD =∠BOC= 60°

∴ ∠CAD=1800-∠0AB-∠BAD= 60°

(3)解：∵ A(1，0)

∴ OA=1

∵ ∠EOA= 900,∠EAO=∠CAD= 60°

∴ ∠OEA= 30°

∴ AE=2OA=2

∵ ∠EAC=180°-∠EAO=120°

∴ 當(dāng)以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE、AC是腰

∴ AE=AC=2

∴ OC=OA+AC=3

∴ 當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到(3,0)時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.