【題目】如圖①,有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點(diǎn)A與點(diǎn)E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是△EFG斜邊上的中點(diǎn).
如圖②,若整個(gè)△EFG從圖①的位置出發(fā),以1cm/s的速度沿射線AB方向平移,在△EFG平移的同時(shí),點(diǎn)P從△EFG的頂點(diǎn)G出發(fā),以1cm/s的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng),△EFG也隨之停止平移.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),F(xiàn)G的延長(zhǎng)線交AC于H,四邊形OAHP的面積為y(cm2)(不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況).
(1)當(dāng)x為何值時(shí),OP∥AC;
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍;
(3)是否存在某一時(shí)刻,使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13:24?若存在,求出x的值;若不存在,說明理由.(參考數(shù)據(jù):1142=12996,1152=13225,1162=13456或4.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16)
【答案】(1)x= 1.5s時(shí);(2)S四邊形OAHP=x2+x+3(0<x<3);(3)x=(s)時(shí).
【解析】
(1)由于O是EF中點(diǎn),因此當(dāng)P為FG中點(diǎn)時(shí),OP∥EG∥AC,據(jù)此可求出x的值.
(2)由于四邊形AHPO形狀不規(guī)則,可根據(jù)三角形AFH和三角形OPF的面積差來得出四邊形AHPO的面積.三角形AHF中,AH的長(zhǎng)可用AF的長(zhǎng)和∠FAH的余弦值求出,同理可求出FH的表達(dá)式(也可用相似三角形來得出AH、FH的長(zhǎng)).三角形OFP中,可過O作OD⊥FP于D,PF的長(zhǎng)易知,而OD的長(zhǎng),可根據(jù)OF的長(zhǎng)和∠FOD的余弦值得出.由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積,然后將其代入(2)的函數(shù)式中即可得出x的值.
解:(1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴,即,
∴FG==3cm
∵當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí),OP∥EG,EG∥AC
∴OP∥AC
∴x==×3=1.5(s)
∴當(dāng)x為1.5s時(shí),OP∥AC.
(2)在Rt△EFG中,由勾股定理得EF=5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴,
∴AH=(x+5),F(xiàn)H=(x+5)
過點(diǎn)O作OD⊥FP,垂足為D
∵點(diǎn)O為EF中點(diǎn)
∴OD=EG=2cm
∵FP=3﹣x
∴S四邊形OAHP=S△AFH﹣S△OFP
=AHFH﹣ODFP
=(x+5)(x+5)﹣×2×(3﹣x)
=x2+x+3(0<x<3).
(3)假設(shè)存在某一時(shí)刻x,使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13:24
則S四邊形OAHP=×S△ABC
∴x2+x+3=××6×8
∴6x2+85x﹣250=0
解得x1=,x2=﹣(舍去)
∵0<x<3
∴當(dāng)x=(s)時(shí),四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13:24.
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【題目】如圖,∠AOB=56°,OC平分∠AOB,如果射線OA上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度數(shù)為________________.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=90°,AB∥ED ,交BC于E,交 AC于F, DE = BC,.
(1) 求證:△FCD 是等腰三角形
(2) 若AB=3.5cm,求CD的長(zhǎng)。
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1的解析式為y=x,直線l2的解析式為y=-x+3,與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,直線l1與l2交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn).
(1)寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo):點(diǎn)A( , )、點(diǎn)B( , )、點(diǎn)C( , );
(2)若S△COP=S△COA,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)PA+PC最短時(shí),求出直線PC的解析式.
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【題目】(2017浙江省嘉興市,第20題,8分)如圖,一次函數(shù)()與反比例函數(shù)()的圖象交于點(diǎn)A(﹣1,2),B(m,﹣1).
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P(n,0)(n>0),使△ABP為等腰三角形?若存在,求n的值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,AD是△ABC的中線,E,F分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且DE=DF,連接BF,CE.下列說法:①△BDF≌△CDE;②CE=BF; ③BF∥CE;④△ABD和△ACD周長(zhǎng)相等.其中正確的有___________(只填序號(hào))
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【題目】如圖,點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE,連接AE交DC于M,連接BD交CE于N,連接MN.
(1)求證:AE=BD;
(2)請(qǐng)判斷△CMN的形狀,并說明理由。
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF
(1)求證:AD=CF;
(2)如果AB=AC,四邊形ADCF的形狀為 (直接寫出結(jié)果);
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【題目】如圖,正方形ABCD的頂點(diǎn)B,C在x軸的正半軸上,反比例函數(shù)y= (k≠0)在第一象限的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)A(m,2)和CD邊上的點(diǎn)E(n,),過點(diǎn)E的直線l交x軸于點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn)G(0,-2),則點(diǎn)F的坐標(biāo)是( )
A. (,0)B. (,0)C. (,0)D. (,0)
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