Question

（1）操作發(fā)現(xiàn)：
如圖1，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點(diǎn)G．猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（2）類比探究：
如圖2，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，進(jìn)而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．
解答：解：（1）猜想線段GF=GC，
證明：連接EG，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，
∴△ECG≌△EFG（HL），
∴FG=CG；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
證明：連接EG，F(xiàn)C，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，
∴BE=EF，∠B=∠AFE，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵矩形ABCD改為平行四邊形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，
∴∠ECD=∠EFG，
∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴FG=CG；
即（1）中的結(jié)論仍然成立．
點(diǎn)評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)以及翻折變換、全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出EF=EC，∠EFC=∠ECF是解決問題的關(guān)鍵．