Question

【題目】有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形（如圖1），連接，，若，．

（1）試探究線段與線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

（2）把與剪去，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，邊交于點(diǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)；

（3）若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移的距離．

Answer 1

【答案】（1），，理由見解析；（2）或；（3）平移的距離是

【解析】

（1）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進(jìn)而可得∠DNM的大小．
（2）分兩種情形討論①當(dāng)AK=FK時(shí)，②當(dāng)AF=FK時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論．
（3）求平移的距離是A2A的長(zhǎng)度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的長(zhǎng)度就行．用△DPN∽△DAB得出對(duì)應(yīng)線段成比例，即可得到A2A的大小．

（1）解：，．

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AM，AD=AF，∠BAD=∠MAF=90°

∴．

∴，．

又∵，

∴，

∴，

∴

（2）解：如圖2，

①當(dāng)時(shí)，，

則，即；

②當(dāng)時(shí)，，

∴，即；

∴的度數(shù)為或

（3）如圖3，

由題意得矩形．設(shè)，則，

在中，∵，

∴，，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴，

解得．即．

答：平移的距離是．