Question

【題目】(2016山東濰坊第25題)如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（﹣9，10），AC∥x軸，點(diǎn)P時(shí)直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+1；（2）P（﹣，﹣）；（3）（﹣4，1）或（3，1）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）設(shè)點(diǎn)P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函數(shù)關(guān)系式，求出極值即可；（3）先判斷出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況計(jì)算即可．

試題解析：（1）∵點(diǎn)A（0，1）．B（﹣9，10）在拋物線上，

∴，

∴b=2，c=1，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x+1，

（2）∵AC∥x軸，A（0，1）

∴x2+2x+1=1，

∴x1=6，x2=0，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（﹣6，1），

∵點(diǎn)A（0，1）．B（﹣9，10），

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1，

設(shè)點(diǎn)P（m， m2+2m+1）

∴E（m，﹣m+1）

∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，

∵AC⊥EP，AC=6，

∴S四邊形AECP

=S△AEC+S△APC

=AC×EF+AC×PF

=AC×（EF+PF）

=AC×PE

=×6×（﹣m2﹣3m）

=﹣m2﹣9m

=﹣（m+）2+，

∵﹣6＜m＜0

∴當(dāng)m=﹣時(shí)，四邊形AECP的面積的最大值是，

此時(shí)點(diǎn)P（﹣，﹣）．

（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，

∴P（﹣3，﹣2），

∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，

∴PF=CF，

∴∠PCF=45°

同理可得：∠EAF=45°，

∴∠PCF=∠EAF，

∴在直線AC上存在滿足條件的Q，

設(shè)Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3

∵以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

①當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí)，

∴，

∴，

∴t=﹣4，

∴Q（﹣4，1）

②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí)，

∴，

∴，

∴t=3，

∴Q（3，1）．