【題目】已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點為D.

(1)若點D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似,求點P的坐標(biāo);

(3)在(1)的條件下,設(shè)點E是線段AD上的一點(不含端點),連接BE.一動點Q從點B出發(fā),沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E,再沿線段ED以每秒個單位的速度運動到點D后停止,問當(dāng)點E的坐標(biāo)是多少時,點Q在整個運動過程中所用時間最少?

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3;(2) P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);(3) (1,﹣4).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點式確定點A、B的坐標(biāo),求出直線的解析式,求出點D的坐標(biāo),求出拋物線的解析式;(2)作PH⊥x軸于H,設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,n),分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可;(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,根據(jù)正切的定義求出Q的運動時間t=BE+EF時,t最小即可.

試題解析:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),

∴點A的坐標(biāo)為(﹣3,0)、點B兩的坐標(biāo)為(1,0),

∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點A,

∴b=﹣3

∴y=﹣x﹣3,

當(dāng)x=2時,y=﹣5,

則點D的坐標(biāo)為(2,﹣5),

∵點D在拋物線上,

∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5

解得,a=﹣

則拋物線的解析式為y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;

(2)作PH⊥x軸于H,

設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,n),

當(dāng)△BPA∽△ABC時,∠BAC=∠PBA,

∴tan∠BAC=tan∠PBA,即=,

=,即n=﹣a(m﹣1),

,

解得,m1=﹣4,m2=1(不合題意,舍去),

當(dāng)m=﹣4時,n=5a,

∵△BPA∽△ABC,

=,即AB2=ACPB,

∴42=,

解得,a1=(不合題意,舍去),a2=﹣

則n=5a=﹣,

∴點P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣);

當(dāng)△PBA∽△ABC時,∠CBA=∠PBA,

∴tan∠CBA=tan∠PBA,即=

=,即n=﹣3a(m﹣1),

解得,m1=﹣6,m2=1(不合題意,舍去),

當(dāng)m=﹣6時,n=21a,

∵△PBA∽△ABC,

=,即AB2=BCPB,

∴42=,

解得,a1=(不合題意,舍去),a2=﹣,

則點P的坐標(biāo)為(﹣6,﹣),

綜上所述,符合條件的點P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);

(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,

則tan∠DAN===,

∴∠DAN=60°,

∴∠EDF=60°,

∴DE==EF,

∴Q的運動時間t=+=BE+EF,

∴當(dāng)BE和EF共線時,t最小,

則BE⊥DM,E(1,﹣4)

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(2)H是C關(guān)于x軸的對稱點,P是拋物線上的一點,當(dāng)△PBH與△AOC相似時,求符合條件的P點的坐標(biāo)(求出兩點即可);

(3)過點C作CD∥AB,CD交拋物線于點D,點M是線段CD上的一動點,作直線MN與線段AC交于點N,與x軸交于點E,且∠BME=∠BDC,當(dāng)CN的值最大時,求點E的坐標(biāo).

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(1)求拋物線的解析式;(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標(biāo);

(3)當(dāng)點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,求出點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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