Question

【題目】如圖，在中，是原點，（0，3），（4，0），是的角平分線．

（1）確定所在直線的函數(shù)表達式；

（2）在線段上是否有一點，使點到軸和軸的距離相等，若存在,求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在線段上是否有一點，使是等腰三角形，若存在，直接寫出 點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為：；（2）點的坐標為（1，1）；（3）點Q的坐標為：（，）.

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）過點C作CE⊥AB，設OC＝CE＝x，則BC＝4-x，求出BE＝2，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理構建方程求出OC得到C點坐標，求出直線AC的解析式，聯(lián)立直線AC的解析式和y=x，求出交點坐標即可；

（3）作線段AB的垂直平分線QH交AC于Q，交AB與H，設出直線QH的解析式，求出點H的坐標，代入可得直線QH的解析式，聯(lián)立直線QH與直線AC的解析式，求出交點坐標即可.

解：（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b，

代入A（0，3），B（4，0）得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為：；

（2）過點C作CE⊥AB，

∵AC平分∠OAB，

∴OC＝CE，

∴設OC＝CE＝x，則BC＝4-x，

易證△AOC≌△ACE，則AE＝OA＝3，

∵AB，

∴BE＝5－3＝2，

在Rt△BCE中，CE2＋BE2＝BC2，即x2＋22＝(4-x)2，

解得：，

∴C（，0），

設直線AC的解析式為：y=mx+n，

代入A（0，3），C（，0）得：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=－2x+3，

∵點在線段上，且到軸和軸的距離相等，

∴點P在直線y=x上，

聯(lián)立，解得：，

∴點的坐標為（1，1）；

（3）∵點Q在線段AC上，△AQB是等腰三角形，

∴如果存在，只有AQ＝BQ一種情況，

作線段AB的垂直平分線QH交AC于Q，交AB與H，

∵直線AB的解析式為：，

∴ 設直線QH的解析式為：，

∵A（0，3），B（4，0），

∴H（2，），

將點H（2，）代入得：，

解得：，

∴直線QH的解析式為：，

聯(lián)立直線QH與直線AC解析式得：，

解得：，

∴點Q的坐標為：（，）.