【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,G為⊙O上一點(diǎn),連接AG交CD于K,在CD的延長線上取一點(diǎn)E,使EG=EK,EG的延長線交AB的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)連接DG,若AC∥EF時.
①求證:△KGD∽△KEG;
②若,AK=,求BF的長.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析,②
【解析】
(1)連接OG.根據(jù)切線的判定,證出∠KGE+∠OGA=90°,故EF是⊙O的切線.(2)①證∠E=∠AGD,又∠DKG=∠CKE,故△KGD∽△KGE.②連接OG.,設(shè),,,則,在Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,即;由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,;在Rt△OGF中,,,
(1)如圖,連接OG.∵EG=EK,
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH,
又OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,
∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∴EF是⊙O的切線.
(2)①∵AC∥EF,∴∠E=∠C,
又∠C=∠AGD,∴∠E=∠AGD,
又∠DKG=∠CKE,
∴△KGD∽△KGE.
②連接OG,如圖所示.∵,AK=,
設(shè),∴,,則
KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5k,∴HK=CK-CH=k.
在Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,
即,,,,則,
設(shè)⊙O半徑為R,在Rt△OCH中,OC=R,OH=R-3k,CH=4k,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,,∴
在Rt△OGF中,,∴,
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與(x>0,0<m<n)的圖象上,對角線BD//y軸,且BD⊥AC于點(diǎn)P.已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.
(1)當(dāng)m=4,n=20時.
①若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,求直線AB的函數(shù)表達(dá)式.
②若點(diǎn)P是BD的中點(diǎn),試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由.
(2)四邊形ABCD能否成為正方形?若能,求此時m,n之間的數(shù)量關(guān)系;若不能,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,P是邊AB上一動點(diǎn),PE⊥CD,垂足為點(diǎn)E,PM⊥AB,交邊CD于點(diǎn)M,AD=1,AB=5,CD=4.
(1)求證:∠PME=∠B;
(2)設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x,EM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)連接PD,當(dāng)△PDM是以PM為腰的等腰三角形時,求AP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解全校學(xué)生上學(xué)的交通方式,該校九年級班的4名同學(xué)聯(lián)合設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷,對該校部分學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查按騎自行車、乘公交車、步行、乘私家車、其他方式設(shè)置選項(xiàng),要求被調(diào)查同學(xué)從中單選,并將調(diào)查結(jié)果繪制成條形統(tǒng)計(jì)圖1和扇形統(tǒng)計(jì)圖2,根據(jù)以上信息,解答下列問題:
本次接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)是______人,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“乘私家車的人數(shù)所占的百分比是______,“其他方式”所在扇形的圓心角度數(shù)是______度;
已知這4名同學(xué)中有2名女同學(xué),要從中選兩名同學(xué)匯報(bào)調(diào)查結(jié)果,請你用列表法或畫樹狀圖的方法,求出恰好選出1名男生和1名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)家的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列,其中“楊輝三角”就是一例.如圖這個三角形的構(gòu)造法其兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和,它給出了(a+b)n(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.利用 規(guī)律計(jì)算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1的值為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2cm,∠DAB=60°.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以cm/s的速度,沿AC向C作勻速運(yùn)動;與此同時,點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度,沿射線AB作勻速運(yùn)動.當(dāng)P運(yùn)動到C點(diǎn)時,P、Q都停止運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(s).
(1)對角線AC的長是 cm;
(2)當(dāng)P異于A、C時,請說明PQ∥BC;
(3)以P為圓心、PQ長為半徑作圓,請問:在整個運(yùn)動過程中,t為怎樣的值時,⊙P與邊BC分別有1個公共點(diǎn)和2個公共點(diǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我校為了迎接體育中考,了解學(xué)生的體育成績,從全校1000名九年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行體育測試,其中“跳繩”成績制作圖如下:
成績段 | 頻數(shù) | 頻率 |
160≤x<170 | 5 | 0.1 |
170≤x<180 | 10 | a |
180≤x<190 | b | 0.14 |
190≤x<200 | 16 | c |
200≤x<210 | 12 | 0.24 |
根據(jù)圖表解決下列問題:
(1)本次共抽取了 名學(xué)生進(jìn)行體育測試,表中,a= ,b= ,c= ;
(2)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(3)“跳繩”數(shù)在180(包括180)以上,則此項(xiàng)成績可得滿分.那么,你估計(jì)全校九年級有多少學(xué)生在此項(xiàng)成績中獲滿分?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,連接AC,BC,點(diǎn)E在AB上,且AE=CE.
(1)求證:∠ABC=∠ACE;
(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線交EC的延長線于點(diǎn)P,證明PB=PE;
(3)在第(2)問的基礎(chǔ)上,設(shè)⊙O半徑為2,若點(diǎn)N為OC中點(diǎn),點(diǎn)Q在⊙O上,求線段PQ的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).
(1) ①如圖1,∠ADE=∠ABC=45°,求證:∠ABD=∠ACE.
②如圖2,∠ADE=∠ABC=30°,①中的結(jié)論是否成立?請說明理由.
(2)在(1) ①的條件下,AB=6,AD=4,若把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠EAC=90°時,畫圖并求PB的長度.
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