Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠DAB＝60°．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．

（1）對(duì)角線AC的長(zhǎng)是 cm；

（2）當(dāng)P異于A、C時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明PQ∥BC；

（3）以P為圓心、PQ長(zhǎng)為半徑作圓，請(qǐng)問(wèn)：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

【答案】（1）2$\sqrt{3}$；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2時(shí)，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)4﹣6＜t≤1時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)

【解析】

（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，由菱形的性質(zhì)可知△AOB為直角三角形且∠OAB=30°，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AO的長(zhǎng)，從而得到AC的長(zhǎng)；
（2）連接BD交AC于O，構(gòu)建直角三角形AOB．利用菱形的對(duì)角線互相垂直、對(duì)角線平分對(duì)角、鄰邊相等的性質(zhì)推知△PAQ∽△CAB；然后根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結(jié)論；
（3）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，構(gòu)建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函數(shù)值求得PM=PC=，然后根據(jù)PM=PQ=AQ=t列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程即可求得t的值；
如圖3，⊙P過(guò)點(diǎn)B，此時(shí)PQ=PB，根據(jù)等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)以及（2）中求得t的值來(lái)確定此時(shí)t的取值范圍；
如圖4，⊙P過(guò)點(diǎn)C，此時(shí)PC=PQ，據(jù)此等量關(guān)系列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程求得t的值．

（1）連接BD交AC于點(diǎn)O．

∵ABCD為菱形，∠DAB＝60°，

∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，AO＝CO．

∴AO＝AB×＝2×＝．

∴AC＝2．

故答案為：2．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，

∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠DAB，

又∵∠DAB＝60°（已知），

∴∠BAC＝∠BCA＝30°；

如圖1，連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝AC，

∴OB＝AB＝1（30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），

∴OA＝（cm），AC＝2OA＝2（cm），

運(yùn)動(dòng)ts后，AP＝ t，AQ＝t，

∴= =，

又∵∠PAQ＝∠CAB，

∴△PAQ∽△CAB，

∴∠APQ＝∠ACB（相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等），

∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）

（2）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，則PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM＝30°，∴PM＝PC＝，由PM＝PQ＝AQ＝t，即＝t

解得t＝4﹣6，此時(shí)⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)；

如圖3，⊙P過(guò)點(diǎn)B，此時(shí)PQ＝PB，

∵∠PQB＝∠PAQ+∠APQ＝60°

∴△PQB為等邊三角形，∴QB＝PQ＝AQ＝t，∴t＝1

∴當(dāng)4﹣6＜t≤1時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)．

如圖4，⊙P過(guò)點(diǎn)C，此時(shí)PC＝PQ，即2﹣t＝t，∴t＝3﹣．

∴當(dāng)1＜t≤3﹣時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，即t＝2時(shí)P與C重合，Q與B重合，也只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴當(dāng)t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2時(shí)，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)4﹣6＜t≤1時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)．