Question

【題目】如圖①，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．已知的面積是．

（1）求的值；

（2）在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，是拋物線上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，且、兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，、是位于直線同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)到軸的距離為，的面積為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）-3；（2）存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等；（3）坐標(biāo)為

【解析】

（1）令，求出x的值即可求出A、B的坐標(biāo)，令x=0，求出y的值即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而求出AB和OC，然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可求出的值；

（2）由題意，點(diǎn)即為外接圓圓心，即點(diǎn)為三邊中垂線的交點(diǎn)，利用A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出、的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出線段的垂直平分線過原點(diǎn)，從而求出線段的垂直平分線解析式，然后求出AB中垂線的解析式，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）作軸交軸于，易證，從而求出，利用待定系數(shù)法和一次函數(shù)的性質(zhì)分別求出直線AC、BP的解析式，和二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用SAS證出，從而得出，設(shè)，利用平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出m，從而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：（1）

令，即

解得，

由圖象知：

，

∴AB=1

令x=0，解得y=

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

∴OC=

解得：，（舍去）

（2）存在，

由題意，點(diǎn)即為外接圓圓心，即點(diǎn)為三邊中垂線的交點(diǎn)

，，

，、的中點(diǎn)坐標(biāo)為

線段的垂直平分線過原點(diǎn)，

設(shè)線段的垂直平分線解析式為：，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴線段的垂直平分線解析式為：

由，，

線段的垂直平分線為

將代入，

解得：

存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等

（3）作軸交軸于，則

∴

、到的距離相等，

設(shè)直線，

將，代入，得

解得

即直線，

∴設(shè)直線解析式為：

直線經(jīng)過點(diǎn)

所以：直線的解析式為

聯(lián)立，

解得：

點(diǎn)坐標(biāo)為

又，

，

設(shè)AP與QB交于點(diǎn)G

∴GA=GQ，GP=GB

，

在與中

，

，

設(shè)

由得：

解得：，（當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)舍去）

坐標(biāo)為．