Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜2）．連接AC，BC，DB，DC．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）△BCD的面積何時(shí)最大？求出此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)和最大面積；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)m=1，△BCD面積最大為，此時(shí)D點(diǎn)為（1，3）；（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）

【解析】

（1）由拋物線交點(diǎn)式表達(dá)式得：y=a（x+1）（x﹣2），將（0，3）代入上式，即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC與點(diǎn)H，由S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB，即可求解；

（3）分BD是平行四邊形的一條邊、BD是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）由拋物線交點(diǎn)式表達(dá)式得：y=a（x+1）（x﹣2），

將（0，3）代入上式得：﹣2a=3，解得：a=，

故拋物線的表達(dá)式為：；

（2）點(diǎn)C（0，3），B（2，0），

設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y=kx+n，則，解得：，

故直線BC的表達(dá)式為：，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC與點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)D（m，），則點(diǎn)H（m，m+3），

S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB=，

∵﹣＜0，故△BCD的面積有最大值，

當(dāng)m=1，△BCD面積最大為，此時(shí)D點(diǎn)為（1，3）；

（3）m=1時(shí)，D點(diǎn)為（1，3），

①當(dāng)BD是平行四邊形的一條邊時(shí)，

設(shè)點(diǎn)N（n，），

則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為絕對(duì)值為3，

即，

解得：n=0或1（舍去）或，

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3），

②當(dāng)BD是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)M（z，0），點(diǎn)N（s，t），

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得t=3，

而，解得s=0或s=1（舍去），

N的坐標(biāo)為（0，3）；

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．