Question

【題目】操作與探究

綜合實(shí)踐課，老師把一個(gè)足夠大的等腰直角三角尺AMN靠在一個(gè)正方形紙片ABCD的一側(cè)，使邊AM與AD在同
一直線上（如圖1），其中∠AMN=90°，AM=MN．
（1）猜想發(fā)現(xiàn)
老師將三角尺AMN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α．如圖2，當(dāng)0＜α＜45°時(shí)，邊AM，AN分別與直線BC，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)EF．小明同學(xué)探究發(fā)現(xiàn)，線段EF，BE，DF滿足EF=BE﹣DF；如圖3，當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，其它條件不變．
①填空：∠DAF+∠BAE=度；
②猜想：線段EF，BE，DF三者之間的數(shù)量關(guān)系是： ．
（2）證明你的猜想；
（3）拓展探究
在45°＜α＜90°的情形下，連結(jié)BD，分別交AM，AN于點(diǎn)G，H，如圖4連結(jié)EH，試證明：EH⊥AN．

Answer 1

【答案】
（1）45,EF=BE+DF
（2）解：證明：如圖3，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)K，使BK=DF，連結(jié)AK．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠ABK=∠D=90°．

在△ABK和△ADF中， ，

∴△ABK≌△ADF（SAS），

∴AK=AF，∠BAK=∠DAF．

∵∠AMN=90°，AM=MN，

∴∠MAN=∠N=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°．

∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=45°，

∴∠EAF=∠EAK．

在△AEF和△AEK中， ，

∴△AEF≌△AEK（SAS）．

∴EF=EK．

∴EF=BE+DF．

（3）解：證明：如圖4，連結(jié)AC．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACE=∠ADH=∠CAD=45°．

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠CAD=45°．

∴∠CAE=∠DAH，

∴△ADH∽△ACE．

∴ ．

∴ ，

又∵∠CAD=∠EAF=45°，

∴△ADC∽△AHE．

∴∠ADC=∠AHE=90°．

∴EH⊥AN．

【解析】（1）解：①∠DAF+∠BAE=45°；

所以答案是：45；②線段EF，BE，DF三者之間的數(shù)量關(guān)系是EF=BE+DF；

所以答案是：EF=BE+DF；

【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．