Question

【題目】操作與探究

綜合實踐課，老師把一個足夠大的等腰直角三角尺AMN靠在一個正方形紙片ABCD的一側，使邊AM與AD在同
一直線上（如圖1），其中∠AMN=90°，AM=MN．
（1）猜想發(fā)現(xiàn)
老師將三角尺AMN繞點A逆時針旋轉α．如圖2，當0＜α＜45°時，邊AM，AN分別與直線BC，CD交于點E，F(xiàn)，連結EF．小明同學探究發(fā)現(xiàn)，線段EF，BE，DF滿足EF=BE﹣DF；如圖3，當45°＜α＜90°時，其它條件不變．
①填空：∠DAF+∠BAE=度；
②猜想：線段EF，BE，DF三者之間的數(shù)量關系是： ．
（2）證明你的猜想；
（3）拓展探究
在45°＜α＜90°的情形下，連結BD，分別交AM，AN于點G，H，如圖4連結EH，試證明：EH⊥AN．

Answer 1

【答案】
（1）45,EF=BE+DF
（2）解：證明：如圖3，延長CB至點K，使BK=DF，連結AK．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠ABK=∠D=90°．

在△ABK和△ADF中， ，

∴△ABK≌△ADF（SAS），

∴AK=AF，∠BAK=∠DAF．

∵∠AMN=90°，AM=MN，

∴∠MAN=∠N=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°．

∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=45°，

∴∠EAF=∠EAK．

在△AEF和△AEK中， ，

∴△AEF≌△AEK（SAS）．

∴EF=EK．

∴EF=BE+DF．

（3）解：證明：如圖4，連結AC．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACE=∠ADH=∠CAD=45°．

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠CAD=45°．

∴∠CAE=∠DAH，

∴△ADH∽△ACE．

∴ ．

∴ ，

又∵∠CAD=∠EAF=45°，

∴△ADC∽△AHE．

∴∠ADC=∠AHE=90°．

∴EH⊥AN．

【解析】（1）解：①∠DAF+∠BAE=45°；

所以答案是：45；②線段EF，BE，DF三者之間的數(shù)量關系是EF=BE+DF；

所以答案是：EF=BE+DF；

【考點精析】利用正方形的性質和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．