Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx﹣3過點(diǎn)A（1，0），直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）b＝　 　，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　 　；

（2）求直線AD的解析式；

（3）過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，DQ，當(dāng)△ADQ的面積等于△ABD的面積的一半時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y＝x﹣1；（3）Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得b的值，然后利用配方法將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可以直接求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）結(jié)合（1）中拋物線解析式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用點(diǎn)A、D的坐標(biāo)來求直線AD解析式；

（3）由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，易得AB＝4．結(jié)合三角形面積公式求得S△ABD＝6．設(shè)P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．則PQ＝﹣m2﹣m+2．利用分割法得到：S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝PQ＝（﹣m2﹣m+2）．根據(jù)已知條件列出方程（﹣m2﹣m+2）＝3．通過解方程求得m的值，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：（1）把A（1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得12+b﹣3＝0．

解得b＝2．

故該拋物線解析式為：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．

故頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣4）．

故答案是：2；（﹣1，﹣4）．

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y＝x2+2x﹣3．

當(dāng)x＝﹣2，則y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）．

設(shè)直線AD的解析式為：y＝kx+t（k≠0）．

把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分別代入，得．

解得．

∴直線AD的解析式為：y＝x﹣1；

（3）當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，

解得x1＝1，x2＝﹣3，

∴B（﹣3，0），

∴AB＝4．

∴S△ABD＝×4×3＝6．

設(shè)P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．

則PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．

∴S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝PQ（1﹣m）+PQ（m+2）＝PQ＝（﹣m2﹣m+2）．

當(dāng)△ADQ的面積等于△ABD的面積的一半時(shí)，（﹣m2﹣m+2）＝3．

解得m1＝0，m2＝﹣1．

∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．