Question

【題目】設(shè)a，b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．如函數(shù)y＝﹣x+4．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1，即當(dāng)1≤x≤3時(shí)，有1≤y≤3，所以說函數(shù)y＝﹣x+4是閉區(qū)間[1，3]上的“閉函數(shù)”

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說明理由．

（2）若二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣k是閉區(qū)間[1，2]上的“閉函數(shù)”，求k的值；

（3）若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（用含m，n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）k的值是﹣2；（3）y＝﹣x+m+n．

【解析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；

（2）由于二次函數(shù)y=x2-2x-k的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=1，所以二次函數(shù)y=x2-2x-k在閉區(qū)間[1，2]內(nèi)，y隨x的增大而增大．當(dāng)x=1時(shí)，y=1，所以k=-2．當(dāng)x=2時(shí)，y=2，所以k=-2．即圖象過點(diǎn)（1，1）和（2，2），所以當(dāng)1≤x≤2時(shí)，有1≤y≤2，符合閉函數(shù)的定義，所以k=-2．

（3）根據(jù)新定義運(yùn)算法則，分兩種情況：k＞0，k＜0，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值，即可解答．

解：（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”，

理由：∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2019，當(dāng)x＝2019時(shí)，y＝1，

∴反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”；

（2）∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k，

∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，

∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣k是閉區(qū)間[1，2]上的“閉函數(shù)”，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2，

即k的值是﹣2；

（3）∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，

∴當(dāng)k＞0時(shí)，，

得，

即此函數(shù)的解析式為y＝x；

當(dāng)k＜0時(shí)，，

得，

即此函數(shù)的解析式為y＝﹣x+m+n．