【題目】(1)如圖1,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點B、C)上任意一點,P是BC延長線上一點,N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°,求證:AM=MN.
下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.
證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE.
(下面請你完成余下的證明過程)
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2),N是∠ACP的平分線上一點,則∠AMN=60°時,結(jié)論AM=MN是否還成立?請說明理由.
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,請你作出猜想:當(dāng)∠AMN= 時,結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案,不需要證明)
【答案】(1)見解析;(2)結(jié)論AM=MN還成立,見解析;(3)仍成立
【解析】
試題分析:(1)要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等,為此,可在AB上取一點E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明△AEM≌△MCN,然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN.
(2)同(1),要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等,為此,可在AB上取一點E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明△AEM≌△MCN,然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN.
(3)由(1)(2)可知,∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內(nèi)角即等于時,結(jié)論AM=MN仍然成立.
(1)證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.
∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE,
BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM,
∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°.
∵N是∠DCP的平分線上一點,
∴∠NCP=45°,∴∠MCN=135°.
在△AEM與△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,
∴△AEM≌△MCN(ASA),
∴AM=MN.
(2)解:結(jié)論AM=MN還成立
證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.
在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°,AB=BC.
∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE,
BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM,
∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°.
∵N是∠ACP的平分線上一點,
∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120°.
在△AEM與△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,
∴△AEM≌△MCN(ASA),
∴AM=MN.
(3)解:若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,則當(dāng)∠AMN=時,結(jié)論AM=MN仍然成立.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,E為BC上一點,DF⊥AE于F.
(1)△ABE與△ADF相似嗎?請說明理由.
(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算
(1)(a2)3(a2)4÷(a2)5 (2)(2x+3y)(3y-2x)-(x-3y)(y+3x)
(3)(x-2)(x+2)(x2+4) (4) 1232-122×124;
(5)(a+b-1)2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,OC是∠AOD的平分線,OE是∠BOD的平分線.
(1)若∠AOB=120°,則∠COE是多少度?
(2)若∠EOC=65°,∠DOC=25°,則∠BOE是多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小麗同學(xué)要畫∠AOB的平分線,卻沒有量角器和圓規(guī),于是她用三角尺按下面方法畫角平分線:
①在∠AOB的兩邊上,分別取OM=ON;
②分別過點M、N作OA、OB的垂線,交點為P;
③畫射線OP,則OP為∠AOB的平分線.
(1)請問:小麗的畫法正確嗎?試證明你的結(jié)論;
(2)如果你現(xiàn)在只有刻度尺,能否畫一個角的角平分線?請你在備用圖中試一試.(不需要寫作法,但是要讓讀者看懂,你可以在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑為2,C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點,弧AC的度數(shù)是100°,D為弧BC的中點,動點P在直徑AB上,則PC+PD的最小值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一塊邊長為a厘米的正方形紙板四角,各剪去一個邊長為b(b<)厘米的正方形,利用因式分解計算當(dāng)a=13.4,b=3.4時,剩余部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列運(yùn)動屬于平移的是( )
A. 蕩秋千 B. 地球繞著太陽轉(zhuǎn) C. 風(fēng)箏在空中隨風(fēng)飄動 D. 急剎車時,汽車在地面上的滑動
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行數(shù)字猜謎游戲,甲說一個數(shù)a的相反數(shù)是它本身,乙說一個數(shù)b的倒數(shù)也是它本身,則a﹣b= 。
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