Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn).點(diǎn)在軸的正半軸上，交軸于點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接.

（1）求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形是平行四邊形；

（3）如圖2，過(guò)頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，點(diǎn)為垂足，使得與相似（不含全等）.

①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

②直接回答這樣的點(diǎn)共有幾個(gè)？

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，，②點(diǎn)P共有3個(gè).

【解析】

(1)令y=0，可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)解析式配方可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如圖2，易得，由此可得，繼而證明為等邊三角形，推導(dǎo)可得，再由，，可得，問(wèn)題得證；

(3)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分三種情況：點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)在之間，分別討論即可得；

②由①的結(jié)果即可得.

(1)令，

解得或，

故，，

配方得，故；

(2)∵，CO⊥AF，

∴OF=OA=1，

如圖，DD1⊥軸，∴DD1//CO，

∴，

∴，

即，

∴，

∴CF==2，

∴，

即為等邊三角形，

∴∠AFC=∠ACF=60°，

∵∠ECF=∠ACF，

∴，

∴，

∵CF：DF=OF：FD1=1：2，

∴DF=4，∴CD=6，

又∵，，

∴，

∴四邊形是平行四邊形；

(3)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

因?yàn)?/span>與相似，

則1)，

即，

∴(舍)，x2=-11；

2)，

即，

∴(舍)，；

(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

因?yàn)?/span>與相似，

則3)，

即，

∴(舍)，(舍)；

4)，

即，

∴(舍)，(舍)；

(ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，

∵與相似，

則5)，

即，

∴(舍)，(舍)；

6)，

即，

∴(舍)，；

綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，；

②由①可得這樣的點(diǎn)P共有3個(gè).