Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D為AB中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在線段BC上以3cm/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).

（1）若Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與P點(diǎn)相同，且點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過1秒鐘后△BPD與△CQP是否全等，并說明理由；
（2）若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，但運(yùn)動(dòng)的速度不相同，當(dāng)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能在運(yùn)動(dòng)過程中有△BPD與△CQP全等？
（3）若點(diǎn)Q以（2）中的速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都是逆時(shí)針沿△ABC的三邊上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵t=1秒，

∴BP=CQ=3×1=3cm，

∵AB=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，

∴PC=8﹣3=5cm，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）

解：∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，

∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 秒，

∴vQ= cm/秒；

（3）

設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，

由題意，得 x=3x+2×10，

解得x= ．

∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了 ×3=80cm．

∴80=56+24=2×28+24，

∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇，

∴經(jīng)過 秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇．

【解析】（1）由P，Q的速度相等，t=1秒時(shí)，CQ=BP=3cm，易得BD=CP=5，由AB=AC，則∠B=∠C，可證得△BPD≌△CQP；（2）△BPD與△CQP全等時(shí)，B與C對(duì)應(yīng)，而vP≠vQ ， 則BP≠CQ，則P不與Q對(duì)應(yīng)，則P與P對(duì)應(yīng)，即△BPD≌△CPQ，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，所以求出時(shí)間，再求Q的速度即可；（3）可設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，點(diǎn)Q的速度大于點(diǎn)P，則是Q追P的問題，點(diǎn)Q與點(diǎn)P相距AC+AB=20cm，數(shù)量關(guān)系：點(diǎn)Q的路程=點(diǎn)P的路程+20，解出時(shí)間，則求出P點(diǎn)的路程，算出P繞△ABC運(yùn)動(dòng)幾周余多少米，可算出點(diǎn)P在哪個(gè)位置.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．