Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（，0）．

（1）求拋物線解析式；

（2）連接OA，過點(diǎn)A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；

（3）點(diǎn)M是y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)M作MN⊥OM交x軸于點(diǎn)N．問：是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）（，﹣54）或（，）或（，﹣）

【解析】

（1）設(shè)交點(diǎn)式y=ax（x-），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；

（2）延長(zhǎng)CA交y軸于D，如圖1，易得OA=，∠DOA=45°，則可判斷△AOD為等腰直角三角形，所以OD=OA=2，則D（0，2），利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=-x+2，再解方程組，得C（5，-3），然后利用三角形面積公式，利用S△AOC=S△COD-S△AOD進(jìn)行計(jì)算；

（3）如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=4，OA=，設(shè)M（x，-x2+x）（x＞0），根據(jù)三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，則當(dāng)時(shí)，△OHM∽△OAC，即；當(dāng)時(shí)，△OHM∽△CAO，即，則分別解關(guān)于x的絕對(duì)值方程可得到對(duì)應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于△OMH∽△ONM，所以求得的M點(diǎn)能以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似．

（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-），

把A（1，1）代入得a1（1-）=1，解得a=-，

∴拋物線解析式為y=-x（x-），

即y=-x2+x；

（2）延長(zhǎng)CA交y軸于D，如圖1，

∵A（1，1），

∴OA=，∠DOA=45°，

∴△AOD為等腰直角三角形，

∵OA⊥AC，

∴OD=OA=2，

∴D（0，2），

易得直線AD的解析式為y=-x+2，

解方程組得或，則C（5，-3），

∴S△AOC=S△COD-S△AOD=×2×5-×2×1=4；

（3）存在．如圖2，

作MH⊥x軸于H，AC=，OA=，

設(shè)M（x，-x2+x）（x＞0），

∵∠OHM=∠OAC，

∴當(dāng)時(shí)，△OHM∽△OAC，即，

解方程-x2+x =4x得x1=0（舍去），x2=-（舍去），

解方程-x2+x =-4x得x1=0（舍去），x2=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，-54）；

當(dāng)時(shí)，△OHM∽△CAO，即，

解方程-x2+x=x得x1=0（舍去），x2=，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

解方程-x2+x=-x得x1=0（舍去），x2=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）；

∵MN⊥OM，

∴∠OMN=90°，

∴∠MON=∠HOM，

∴△OMH∽△ONM，

∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-54）或（，）或（，-）時(shí)，以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與（2）中的△AOC相似．