【題目】數學活動
問題情境:
如圖1,在ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E分別是邊AB,AC的中點,將ADE繞點A順時針旋轉α角(0°<α<90°)得到AD′E′,連接CE′,BD′.探究CE′與BD′的數量關系;
圖1 圖2 圖3 圖4
探究發(fā)現:
(1)圖1中,CE′與BD′的數量關系是________;
(2)如圖2,若將問題中的條件“D,E分別是邊AB,AC的中點”改為“D為AB邊上任意一點,DE∥BC交AC于點E”,其他條件不變,(1)中CE′與BD′的數量關系還成立嗎?請說明理由;
拓展延伸:
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BE′,CD′,分別取BC,CD′,E′D′,BE′的中點F,G,H,I,順次連接F,G,H,I得到四邊形FGHI.請判斷四邊形FGHI的形狀,并說明理由;
(4)如圖4,在ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,點D,E分別在AB,AC上,且DE∥BC,將ADE繞點A順時針旋轉60°得到AD′E′,連接CE′,BD′.請你仔細觀察,提出一個你最關心的數學問題(例如:CE′與BD′相等嗎?).
【答案】CE′=BD′
【解析】試題分析:(1)先證明AD=AE,再根據旋轉得到∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,證明△ABD′≌△ACE′,根據全等三角形的對應邊相等即可得;
(2)類比(1)的方法先證明AD=AE,然后再證明△ABD′≌△ACE′,根據全等三角形的性質即可得;
(3)先證明四邊形FGHI是平行四邊形,再證明四邊形FGHI是菱形, 延長CE交BD′于點M,由(2)得△ABD′≌△ACE′, 從而推導可得∠CBM+∠BCM=90°,進而可推導得到∠IFG=90°,從而得四邊形FGHI是正方形;
(4)答案不唯一,只要符合題意即可.
試題解析:(1) ∵D、E分別為AB、AC的中點,∴AD=AB,AE=AC,
∵AB=AC,∴AD=AE,
∵△ADE繞點A順時針旋轉α角(0°<α<90°),得到△AD′E′,
∴∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,
在△ABD′和△ACE′中,
∴△ABD′≌△ACE′,
∴CE′=BD′,
故答案為:CE′=BD′;
(2)CE′與BD′的數量關系還成立,理由如下:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.
∴∠ADE=∠AED,∴ AD=AE,
∵△ADE繞點A順時針旋轉α角(0°<α<90°),得到△AD′E′,
∴∠BAD′=∠CAE′=α,AD′=AE′,
在△ABD′和△ACE′中,
∴ △ABD′≌△ACE′,
∴ CE′=BD′;
(3)四邊形FGHI是正方形,
∵F,G,H,I分別是BC,CD′,E′D′,BE′的中點,
∴FG=HI=BD′,IF=HG=CE′.
∴四邊形FGHI是平行四邊形,
又∵BD′=CE′,∴FG=IF,
∴四邊形FGHI是菱形,
延長CE交BD‘于點M,如圖,
由(2)得△ABD′≌△ACE′,
∴∠ACE′=∠ABD′,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE′+∠ABC+∠BCM=90°,
∴∠ABD′+∠ABC+∠BCM=90°,
∴∠CBM+∠BCM=90°,
又∵FG∥BD′,IF∥CE′,
∴∠CFG=∠CBM,∠BFI=∠BCM,
∴∠CFG+∠BFI=90°,∴∠IFG=90°,
∴四邊形FGHI是正方形;
(4)答案不唯一,如:①△ABD′和△ACE′全等嗎?
②△BDD′和△CEE′全等嗎?
③∠BD′D和∠CE′E相等嗎?
④四邊形AD′DE是菱形嗎?,
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】元旦是公歷新一年的第一天.“元旦”一詞最早出現于《晉書》:“顓帝以孟夏正月為元,其實正朔元旦之春.”中國古代曾以臘月、十月等的月首為元旦,1949年中華人民共和國以公歷1月1日為元旦,因此元旦在中國也被稱為“陽歷年”.為慶祝元旦,太原某商場舉行促銷活動,促銷的方法是“消費超過200元時,所購買的商品按原價打8折后,再減少20元”.若某商品的原價為元,則購買該商品實際付款的金額是( )
A.元B.元C.元D.元
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【題目】用一個平面去截正方體(如圖),下列關于截面(截出的面)形狀的結論:
①可能是銳角三角形;②可能是鈍角三角形;
③可能是長方形;④可能是梯形.
其中正確結論的是______(填序號).
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【題目】閱讀思考:
數學課上老師出了一道分式化簡求值題目.
題目:÷(x+1)·-,其中x=-.
“勤奮”小組的楊明同學展示了他的解法:
解:原式=- ..................第一步
=- ................ ..第二步
= ..........................第三步
= ..................................第四步
當x=-時,原式= .......................第五步
請你認真閱讀上述解題過程,并回答問題:
你認為該同學的解法正確嗎?如有錯誤,請指出錯誤在第幾步,并寫出完整、正確的解答過程.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】圖1所示是一枚質地均勻的骰子.骰子有六個面并分別代表數字1,2,3,4,5,6.如圖2,正六邊形ABCDEF的頂點處各有一個圈.跳圈游戲的規(guī)則為:游戲者每擲一次骰子,骰子向上的一面上的點數是幾,就沿正六邊形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長.如:若從圈A起跳,第一次擲得3,就順時針連續(xù)跳3個邊長,落到圈D;若第二次擲得2,就從圈D開始順時針連續(xù)跳2個邊長,落到圈F……
設游戲者從圈A起跳.
(1)小明隨機擲一次骰子,求落回到圈A的概率P1;
(2)小亮隨機擲兩次骰子,用列表法或畫樹狀圖法求最后落回到圈A的概率P2,并指出他與小明落回到圈A的可能性一樣嗎?
圖1 圖2
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖是一個無理數篩選器的工作流程圖.
(1)當時,的值為_____________;
(2)是否存在輸入有意義的的值后,卻輸不出的值?如果存在,寫出所有滿足要求的的值;如果不存在,請說明理由;
(3)當輸出的的值是時,判斷輸入的的值是否唯一,如果不唯一,請寫出其中的個.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于點P.
(1)求證:△ABE≌△CAD;
(2)若PQ=2,BE=5,求PE的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC為弦,D為弧AC的中點,AC、BD相交于點E.AP交BD的延長線于點P.∠PAC=2∠CBD.
(1)求證:AP是⊙O的切線;
(2)若PD=3,AE=5,求△APE的面積.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,兩摞規(guī)格完全相同的課本整齊疊放在桌子上,請根據圖中所給出的數據信息,回答下列問題:
(1)每本課本的厚度為 ;
(2)若有一摞上述規(guī)格的課本本,整齊疊放在桌子上,請用含的代數式表示出這一摞數學課本的頂部距離地面的高度為( );
(3)當時,若從中取走15本,求余下的課本的頂部距離地面的高度.
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