Question

【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，且CF＝BE，AE與BF交于G點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：①AE＝BF，②AE⊥BF．

（2）連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，

①若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)（如圖2），求BH的長(zhǎng)；

②若點(diǎn)E在BC的邊上滑動(dòng)（不與B、C重合），當(dāng)CG取得最小值時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①見解析;②見解析;（2）①BH＝；②2﹣2．

【解析】

（1）①由正方形的性質(zhì)得出AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，由SAS證明△ABE≌△BCF，即可得出結(jié)論；

②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE＝∠CBF，證出∠AGB＝90°，即可得出結(jié)論；

（2）①由直角三角形的性質(zhì)得出CF＝BE＝BC＝2，由勾股定理得出BF＝2，由（1）得：AE⊥BF，則∠BGE＝∠ABE＝90°，證明△BEG∽△AEB，得出 ＝，設(shè)GE＝x，則BG＝2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG＝2× ，由平行線得出 ，即可得出BH的長(zhǎng)；

②由（1）得：∠AGB＝90°，得出點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)C、G、M在同一直線上時(shí)，CG為最小值，求出GM＝AB＝BM＝2，由平行線得出 ＝1，證出CF＝CG＝BE，設(shè)CF＝CG＝BE＝a，則CM＝a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，

在△ABE和△BCF中， ，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF；

②由①得：△ABE≌△BCF，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠CBF+∠ABF＝90°，

∴∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠AGB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：①如圖2所示：

∵E為BC的中點(diǎn)，

∴CF＝BE＝BC＝2，

∴BF ，

由（1）得：AE⊥BF，

∴∠BGE＝∠ABE＝90°，

∵∠BEG＝∠AEB，

∴△BEG∽△AEB，

∴ ，

設(shè)GE＝x，則BG＝2x，

在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝22，

解得：x＝ ，

∴BG＝2× ，

∵AB∥CD，

∴ ，即 ，

解得：BH＝；

②由（1）得：∠AGB＝90°，

∴點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上，

設(shè)AB的中點(diǎn)為M，

由圖形可知：當(dāng)C、G、M在同一直線上時(shí)，CG為最小值，如圖3所示：

∵AE⊥BF，

∴∠AGB＝90°，

∴GM＝AB＝BM＝2，

∵AB∥CD，

∴ ＝1，

∴CF＝CG，

∵CF＝BE，

∴CF＝CG＝BE，

設(shè)CF＝CG＝BE＝a，則CM＝a+2，

在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42＝（a+2）2，

解得：a＝2﹣2，即

當(dāng)CG取得最小值時(shí)，BE的長(zhǎng)為2﹣2．