Question

【題目】綜合與探究

如圖所示：點和點分別在射線和射線上運動（點和點不與點重合），，是的平分線，是在頂點處的外角平分線，的反向延長線與交于點.試回答下列問題：

（1）若，則_________，若，則_________.

（2）設，用表示的度數(shù)，則__________.

（3）試猜想，點和點在運動過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請求出變化范圍；若不變，請給出證明.

Answer 1

【答案】（1）45 45；（2）；（3）不變，理由如下：

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義用∠ACB表示出∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠MAC，整理即可得解；
（2）根據(jù)（1）可得∠D=45°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解答即可；
（3）根據(jù)角的平分線定義表示出∠MAC，∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理即可得到∠D的大小只與∠ABC有關．

（1）∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，
∴∠MAC=∠FAC，
根據(jù)三角形外角性質(zhì)，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=（∠ACB+∠ABC），
∴∠ACB+∠D=∠ACB+∠ABC，
∠D=∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

即∠D的大小與∠ACB無關，等于∠ABC，
當∠ACB=30°，∠D=45°，∠ACB=70°，∠D=45°；

（2）根據(jù)（1）∠D=45°，
∵∠ACD=x，
∴在△ACD中，∠MAC=∠ACD+∠D=（45+x）°；
（3）不變．理由如下：
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，
∴∠MAC=∠FAC，
根據(jù)三角形外角性質(zhì)，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=（∠ACB+∠ABC），
∴∠ACB+∠D=∠ACB+∠ABC，
∠D=∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=×90°=45°．