【題目】矩形ABCO,O(0,0),C(0.3),A(a.0),(a≥3),以A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCO,得到矩形AFED.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí),求BD的長(zhǎng);
(2)如圖2,當(dāng)a=3時(shí),矩形AFEO的對(duì)角線A任交矩形ABCO的邊BC于點(diǎn)G,連結(jié)CE.若△CGE是等腰三角形,求直線BE的解析式.
(3)如圖3,當(dāng)a=4時(shí),矩形ABCD的對(duì)稱中心為點(diǎn)M,△MED的面積為s,求s的取值范圍.
【答案】(1);(2)y=﹣x+6;(3)
【解析】
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí),BD2=AD2﹣AB2,即可求解;
(2)分CG=EG、CE=GE、CE=CG三種情況分別求解;
(3)MN≤MA+AD,當(dāng)射線DA經(jīng)過點(diǎn)M時(shí),MN=MA+AD=,當(dāng)邊AD經(jīng)過點(diǎn)M,即P與M重合時(shí),MN=PD,MN=PD=AD﹣AP=4-,即可求解.
(1)如圖1,
在矩形ABCO中,∠B=90°
當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí),BD2=AD2﹣AB2,
∵C(0,3),A(a,0)
∴AB=OC=3,AD=AO=a,
∴BD=;
(2)如圖2,連結(jié)AC,
∵a=3,∴OA=OC=3,
∴矩形ABCO是正方形,∴∠BCA=45°,
設(shè)∠ECG的度數(shù)為x,
∴AE=AC,∴∠AEC=∠ACE=45°+x,
①當(dāng)CG=EG時(shí),x=45°+x,
解得x=0,不合題意,舍去;
②當(dāng)CE=GE時(shí),如圖2,
∠ECG=∠EGC=x
∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=180°,
∴x+x+(45°+x)=180°,解得x=45°,
∴∠AEC=∠ACE=90°,不合題意,舍去;
③當(dāng)CE=CG時(shí),∠CEG=∠CGE=45°+x,
∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=180°,
∴x+(45°+x)+(45°+x)=180°,解得x=30°,
∴∠AEC=∠ACE=75°,∠CAE=30°
如圖3,連結(jié)OB,交AC于點(diǎn)Q,過E作EH⊥AC于H,連結(jié)BE,
∴EH=AE=AC,BQ=AC,
∴EH=BQ,EH∥BQ且∠EHQ=90°
∴四邊形EHQB是矩形
∴BE∥AC,
設(shè)直線BE的解析式為y=﹣x+b,
∵點(diǎn)B(3,3)在直線上,則b=6,
∴直線BE的解析式為y=﹣x+6;
(3)如圖4,
∵a=4,點(diǎn)M是矩形ABCO的對(duì)稱中心
∴AO=4,AM=,
以A為圓心,分別以AO、AM為半徑作圓,AD交小圓于P,
過M作MN⊥ED于N
∴DE切大圓于D
∴MN≥PD
根據(jù)“垂線段最短”,MN≤MA+AD,
如圖5,當(dāng)射線DA經(jīng)過點(diǎn)M時(shí),MN=MA+AD=,
∴s的最大值是ED×(MA+AD)=;
如圖6,當(dāng)邊AD經(jīng)過點(diǎn)M,即P與M重合時(shí),MN=PD,
MN=PD=AD﹣AP=4﹣=,
∴s的最小值是ED×PD=,
s的取值范圍是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,過點(diǎn)C作CE⊥BD交BD于點(diǎn)E,且CE=AB.
(1)求證:△ABD≌△ECB;
(2)若AB=AD,求∠ADC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠MBN=90°,點(diǎn)C是∠MBN平分線上的一點(diǎn),過點(diǎn)C分別作AC⊥BC,CE⊥BN,垂足分別為點(diǎn)C,E,AC=,點(diǎn)P為線段BE上的一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、E重合),連接CP,以CP為直角邊,點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),作等腰直角三角形CPD,點(diǎn)D落在BC左側(cè).
(1)求證:;
(2)連接BD,請(qǐng)你判斷AC與BD的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)設(shè)PE=x,△PBD的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A是以BC為直徑的⊙O上的一點(diǎn),AD⊥BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作⊙O的切線,與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F是EB的中點(diǎn),連結(jié)CF交AD于點(diǎn)G
(1)求證:AF是⊙O的切線;
(2)求證:AG=GD;
(3)若FB=FG,且⊙O的半徑長(zhǎng)為3,求BD.
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【題目】如圖,矩形ABCD長(zhǎng)與寬的比為5:3,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,tan∠1=,tan∠2=,則cos(∠1+∠2)的值為( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出當(dāng)x>0時(shí),的解集.
(3)點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)P并求出它的坐標(biāo),使PA+PB最。
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于F,連接CF.
(1)求證:AD=AF;
(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°,∠BAD與∠ABC的平分線AE、BF交于點(diǎn)P,連接PD,則tan∠ADP的值為( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF⊥BD,且交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分∠ABD.
(1)①求證:四邊形BFDE是菱形;②求∠EBF的度數(shù).
(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2,G,I分別在BF,BE邊上,且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn),連接FH,并延長(zhǎng)FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IH與FH之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時(shí),點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EF⊥DE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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