Question

【題目】矩形ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a≥3），以A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCO，得到矩形AFED．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí)，求BD的長(zhǎng)；

（2）如圖2，當(dāng)a＝3時(shí)，矩形AFEO的對(duì)角線A任交矩形ABCO的邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)CE．若△CGE是等腰三角形，求直線BE的解析式．

（3）如圖3，當(dāng)a＝4時(shí)，矩形ABCD的對(duì)稱中心為點(diǎn)M，△MED的面積為s，求s的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝﹣x+6；（3）

【解析】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí)，BD2＝AD2﹣AB2，即可求解；

（2）分CG＝EG、CE＝GE、CE＝CG三種情況分別求解；

（3）MN≤MA+AD，當(dāng)射線DA經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，MN＝MA+AD＝，當(dāng)邊AD經(jīng)過點(diǎn)M，即P與M重合時(shí)，MN＝PD，MN＝PD＝AD﹣AP＝4-，即可求解．

（1）如圖1，

在矩形ABCO中，∠B＝90°

當(dāng)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí)，BD2＝AD2﹣AB2，

∵C（0，3），A（a，0）

∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，

∴BD＝；

（2）如圖2，連結(jié)AC，

∵a＝3，∴OA＝OC＝3，

∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，

設(shè)∠ECG的度數(shù)為x，

∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，

①當(dāng)CG＝EG時(shí)，x＝45°+x，

解得x＝0，不合題意，舍去；

②當(dāng)CE＝GE時(shí)，如圖2，

∠ECG＝∠EGC＝x

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，

∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合題意，舍去；

③當(dāng)CE＝CG時(shí)，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，

∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，

∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°

如圖3，連結(jié)OB，交AC于點(diǎn)Q，過E作EH⊥AC于H，連結(jié)BE，

∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，

∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°

∴四邊形EHQB是矩形

∴BE∥AC，

設(shè)直線BE的解析式為y＝﹣x+b，

∵點(diǎn)B（3，3）在直線上，則b＝6，

∴直線BE的解析式為y＝﹣x+6；

（3）如圖4，

∵a＝4，點(diǎn)M是矩形ABCO的對(duì)稱中心

∴AO＝4，AM＝，

以A為圓心，分別以AO、AM為半徑作圓，AD交小圓于P，

過M作MN⊥ED于N

∴DE切大圓于D

∴MN≥PD

根據(jù)“垂線段最短”，MN≤MA+AD，

如圖5，當(dāng)射線DA經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，MN＝MA+AD＝，

∴s的最大值是ED×（MA+AD）＝；

如圖6，當(dāng)邊AD經(jīng)過點(diǎn)M，即P與M重合時(shí)，MN＝PD，

MN＝PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，

∴s的最小值是ED×PD＝，

s的取值范圍是