【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)時(shí),求證:AE=EF.
(2)如圖②當(dāng)點(diǎn)E是BC邊的延長線上一點(diǎn)時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎? (填成立或者不成立).
(3)當(dāng)點(diǎn)E是BC邊上任一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)時(shí),若已知AE=EF,那么∠AEF的度數(shù)是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見解析;(2)成立,理由見解析;(3)∠AEF=90°不發(fā)生變化.理由見解析.
【解析】
(1)在AB上取點(diǎn)G,使得BG=BE,連接EG,根據(jù)已知條件利用ASA判定△AGE≌△ECF,因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等,所以AE=EF;
(2)在BA的延長線上取一點(diǎn)G,使AG=CE,連接EG,根據(jù)已知利用ASA判定△AGE≌△ECF,因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等,所以AE=EF;
(3)在BA邊取一點(diǎn)G,使BG=BE,連接EG.作AP⊥EG,EQ⊥FC,先證AGP≌△ECQ得AP=EQ,再證Rt△AEP≌Rt△EFQ得∠AEP=∠EFQ,∠BAE=∠CEF,結(jié)合∠AEB+∠BAE=90°知∠AEB+∠CEF=90°,從而得出答案.
(1)證明:在BA邊取一點(diǎn)G,使BG=BE,連接EG,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,BA=BC,∠DCM═90°,
∴BA-BG=BC-BE,
即AG=CE.
∵∠AEF=90°,∠B=90°,
∴∠AEB+∠CEF=90°,∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠CEF=∠BAE.
∵BG=BE,CF平分∠DCM,
∴∠BGE=∠FCM=45°,
∴∠AGE=∠ECF=135°,
∴△AGE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
(2)成立,
理由:在BA的延長線上取點(diǎn)G,使得AG=CE,連接EG.
∵四邊形ABCD為正方形,AG=CE,
∴∠B=90°,BG=BE,
∴△BEG為等腰直角三角形,
∴∠G=45°,
又∵CF為正方形的外角平分線,
∴∠ECF=45°,
∴∠G=∠ECF=45°,
∵∠AEF=90°,
∴∠FEM=90°-∠AEB,
又∵∠BAE=90°-∠AEB,
∴∠FEM=∠BAE,
∴∠GAE=∠CEF,
在△AGE和△ECF中,
∵,
∴△AGE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
故答案為:成立.
(3)∠AEF=90°不發(fā)生變化.
理由如下:在BA邊取一點(diǎn)G,使BG=BE,連接EG.分別過點(diǎn)A、E作AP⊥EG,EQ⊥FC,垂足分別為點(diǎn)P、Q,
∴∠APG=∠EQC=90°,
由(1)中知,AG=CE,∠AGE=∠ECF=135°,
∴∠AGP=∠ECQ=45°,
∴△AGP≌△ECQ(AAS),
∴AP=EQ,
∴Rt△AEP≌Rt△EFQ(HL),
∴∠AEP=∠EFQ,
∴∠BAE=∠CEF,
又∵∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠AEF=90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】同學(xué)們知道,|8﹣3|表示8與3的差的絕對(duì)值,也可理解為數(shù)軸上表示數(shù)8與3兩點(diǎn)間的距離.試探索:
(1)填空:|8+3|表示數(shù)軸上數(shù)8與數(shù) 兩點(diǎn)間的距離;
(2)|x+5|+|x﹣2|表示數(shù)軸上數(shù)x與數(shù) 的距離和數(shù)x與數(shù) 的距離的和.
(3)滿足|x+5|+|x﹣2|=7的所有整數(shù)x的值是 .
(4)由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值?如果有寫出最小值;如果沒有,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn),O為BD的中點(diǎn),PO的延長線交BC于Q.
(1)求證:四邊形PBQD是平行四邊形;
(2)若AD=8cm,AB=6cm,P從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)(不與D重合),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①請用t表示PD的長;②求t為何值時(shí),四邊形PBQD是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上,點(diǎn)A,B,C表示的數(shù)分別是-6,10,12.點(diǎn)A以每秒3個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)線段BC以每秒1個(gè)單位長度的速度也向右運(yùn)動(dòng).
(1)運(yùn)動(dòng)前線段AB的長度為________;
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多長時(shí),點(diǎn)A和線段BC的中點(diǎn)重合?
(3)試探究是否存在運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻,線段AB=AC?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)A表示的數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校為了提高學(xué)生跳遠(yuǎn)科目的成績,對(duì)全校500名九年級(jí)學(xué)生開展了為期一個(gè)月的跳遠(yuǎn)科目強(qiáng)化訓(xùn)練.王老師為了了解學(xué)生的訓(xùn)練情況,強(qiáng)化訓(xùn)練前,隨機(jī)抽取了該年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行跳遠(yuǎn)測試,經(jīng)過一個(gè)月的強(qiáng)化訓(xùn)練后,再次測得這部分學(xué)生的成績,將兩次測得的成績制作成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖和不完整的統(tǒng)計(jì)表
訓(xùn)練后學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)表
成績/分?jǐn)?shù) | 6分 | 7分 | 8分 | 9分 | 10分 |
人數(shù)/人 | 1 | 3 | 8 | 5 | n |
根據(jù)以上信息回答下列問題
(1)訓(xùn)練后學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)表中n= ,并補(bǔ)充完成下表:
平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | |
訓(xùn)練前 | 7.5 | 8 | |
訓(xùn)練后 | 8 |
(2)若跳遠(yuǎn)成績9分及以上為優(yōu)秀,估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生訓(xùn)練后比訓(xùn)練前達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)增加了多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在矩形ABCD中,點(diǎn)F為AD中點(diǎn),點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn),連接CE、EF、CF,EF平分∠AEC.
(1)如圖1,求證:CF⊥EF;
(2)如圖2,延長CE、DA交于點(diǎn)K, 過點(diǎn)F作FG∥AB交CE于點(diǎn)G若,點(diǎn)H為FG上一點(diǎn),連接CH,若∠CHG=∠BCE, 求證:CH=FK;
(3)如圖3, 過點(diǎn)H作HN⊥CH交AB于點(diǎn)N,若EN=11,FH-GH=1,求GK長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.
(1)如圖1,求證:KE=GE;
(2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=∠ACH,求證:CA∥FE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CG交AB于點(diǎn)N,若sinE=,AK=,求CN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD中,AB=2,以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓交邊BC于點(diǎn)E,連接DE、AC、AE.
(1)求證:△AED≌△DCA;
(2)若DE平分∠ADC且與⊙A相切于點(diǎn)E,求圖中陰影部分(扇形)的面積.
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