Question

已知：拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，其中

點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），頂點(diǎn)為點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

（1）求m的值；

（2）求∠CDE的度數(shù)；

（3）在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)部分上是否存在一點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？如果

存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線過點(diǎn)C（0，3）
∴1-m=3
∴m=-2                              

（2）由（1）可知該拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴此拋物線的對(duì)稱軸x=1
拋物線的頂點(diǎn)D（1，4）
過點(diǎn)C作CF⊥DE，則CF∥OE
∴F（1，3）
所以CF=1，DF=4-3=1
∴CF=DF
又∵CF⊥DE
∴∠DFC=90°
∴∠CDE=45°                                           

（3）存在．
①延長CF交拋物線于點(diǎn)P₁，則CP₁∥x軸，所以P₁正好是C點(diǎn)關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，有DC=DP₁，得出P₁點(diǎn)坐標(biāo)（2，3）；
由y=-x²+2x+3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱軸為x=1．
②若以CD為底邊，則PD=PC，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P點(diǎn)（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得：

＜1，應(yīng)舍去；
∴

∴y=4-x=

則P₂點(diǎn)坐標(biāo)（）
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）和（2，3）．