Question

【題目】在中，，，，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，設(shè)，

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求的值．

（2）如圖2，連接，，當(dāng)時(shí)，求的面積．

（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或或

【解析】

（1）由勾股定理求得BC=10，由折疊性質(zhì)得P=AP=x， C=AC=6，則PB=8-x，B=4，在RtΔBP中，由勾股定理列方程可求得x值；

（2）根據(jù)已知求出，由=即可解答；

（3）分情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，分別求解即可.

(1)在中，，，，

∴由勾股定理得：BC=10，

由折疊性質(zhì)得：P=AP=x， C=AC=6，則PB=8-x，B=4，

在RtΔBP中，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，

解得：；

（2）當(dāng)時(shí)，

由折疊性質(zhì)得：AC=C=4，∠CAB=∠CP=90，

∴=，

∵=90，=90，

∴，

∵=90，=90，

∴，

∴，

∴=4，

則，且=，

由，∠CAB=90，可求得，，，

，；

（3）①當(dāng)時(shí)，若在線段上，如圖1，過(guò)作H⊥AB于H，過(guò)C作CD⊥H延長(zhǎng)線于D，

則四邊形ACDH是矩形，又是等腰三角形，

∴，，

，，

∵=90，=90,

∴，又=90,

∴，

∴，

得，解得，

若在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，過(guò)作AB的平行線，交AC延長(zhǎng)線與D，過(guò)P作PH垂直平行線于H，則四邊形APHD是矩形，

同上方法，易求得D=4，，

∴PH=AD=，

同理可證得，

∴，

得，解得，

②當(dāng)時(shí)，如圖3，由折疊性質(zhì)得：

CP垂直平分A，

則，∠AQP=90，

又AC=6,

，

∵∠ AQP=∠CAB=90，

∴由同角的余角相等得：∠ACQ=∠QAP，

∴，

∴，

即，

解得：；

③當(dāng)時(shí)，如圖4，則、重合，，

綜上所述或或或.