Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC=60°．將一直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）求∠CON的度數(shù)；

（2）如圖2是將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒15°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的情況，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，三條射線OA、OC、OM構(gòu)成兩個(gè)相等的角，求此時(shí)的t值

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3（使ON在∠AOC的外部），圖4（使ON在∠AOC的內(nèi)部）請(qǐng)分別探究∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）t為4，16，10或22秒；（3）ON在∠AOC的外部時(shí)，∠NOC -∠AOM=30°；ON在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，∠AOM-∠NOC=30°，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；
（2）在圖2中，分四種情況討論：①當(dāng)∠COM為60°時(shí)，②當(dāng)∠AOM為60°時(shí)，③當(dāng)OM可平分∠AOC時(shí)，④當(dāng)OM反向延長(zhǎng)線平分∠AOC時(shí)，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；
（3）ON在∠AOC的外部時(shí)和當(dāng)ON在∠AOC內(nèi)部時(shí)，分別根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．

(1)已知∠AOC=60°，MO⊥ON，

∴∠AON=90°，

∴∠CON=∠AON+∠AOC=150°；

(2)∵∠AOC=60°，

①當(dāng)∠COM為60°時(shí)，

旋轉(zhuǎn)前∠COM為120°，故三角板MON逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了60°，旋轉(zhuǎn)了4秒；

②當(dāng)∠AOM為60°時(shí)，

旋轉(zhuǎn)前∠AOM為180°，OM不與OC重合，

故三角板MON逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了240°，旋轉(zhuǎn)了16秒；

③當(dāng)OM可平分∠AOC時(shí)，

∠MOB=180°-30°=150°，故三角板MON逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了150°，旋轉(zhuǎn)了10秒；

④當(dāng)OM反向延長(zhǎng)線平分∠AOC時(shí)，

，

故三角板MON逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了330°，旋轉(zhuǎn)了22秒，

綜上t為：4，16，10或22秒；

(3) ∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖，ON在∠AOC的外部時(shí)，

∴∠AOM=60°+∠COM，∠NOC=90°+∠COM，

∴∠NOC -∠AOM=30°；

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖，ON在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，

∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=30°．